Parte tercera:
Conjetura de los primos gemelos. Propuesta de demostración.
Referencias: PMBERCEO OM ( diosoazar.com ) CC citar autor y fuente
La Conjetura de los primos gemelos establece que hay infinitos pares de números primos separados por dos unidades o, lo que es lo mismo, infinitos pares de primos gemelos.
A continuación damos una demostración apoyada en la clasificación de los números primos en dos clases que venimos usando en las dos partes anteriores.
CC. Citar autor y fuente PMBERCEO OM (diosoazar.com)
Conjetura de los primos GemelosParte I.- Estructura y distribución de los Números Primos
Para no complicar demasiado el estudio con definiciones exhaustivas, llamaremos aquí Número Primo, al número natural ( entero positivo) solo divisible exactamente por sí mismo y por la unidad, que no coincide exactamente con la definición del DRAE: “ Número entero * que solo es exactamente divisible por sí mismo y por la unidad”. Para este estudio , comenzamos eliminando del conjunto [N] de los naturales, además del uno, el 2 y el 3 ( primos elementales) y sus múltiplos. El conjunto resultante está formado por {5,7,11,13,17,19...}, números naturales de dos clases, 6 j-1 y 6 j+1 , para todo j entero positivo ≥1 , que llamamos Primos Genéricos o PG, de expresión genérica PG = 6.j±1.
[PG]={5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43,47,49,53,55,59,61,65,...}
[PG]=( 5=6x1-1, 7=6x1+1, 11=6x2-1, 13=6x2+1...............,31,35,37,41...).
De ellos, unos son verdaderos números primos, VP, y el resto, números compuestos o falsos primos, FP , cada uno de una u otra clase, +1 y -1. Se muestran listados iniciales de algunos de dichos conjuntos:
[PG]=[VP] + [FP]=(5,7,11,13,17,19,...) + (25,35,49,55,65,77...) (1)
[PG]=[PG+1] + [PG-1]=(7,13,19,25,31...,) +(5,11,17,23,29,...) (2)
[PG]={ PG+1 } + { PG-1 }= { [VP+1] + [FP+1] } + { [VP-1 ] + [FP-1] } (3) Para mayor sencillez, expresamos unión de conjuntos con + en vez de ∪.
A su vez, [VP]=[VP+1 ]+[VP-1] y [FP]=[FP+1]+[FP-1] (4) [VP+1]=(7,13,19,31,37,43, ...) [ VP-1]=(5.11.17,23,29,41) [FP+1] =(25,49,55,85, ...) [FP-1]=(35,65,77,...)
Propiedades:
P1.- En el conjunto [PG] de cada clase , el valor j señala el ordinal que ocupa cada uno. Así, en la clase PG+1, el cuarto término será 6 x 4 +1=25 , el quinto será 6 x 5 +1 =31, etc . En PG-1, el 7º será 6 x 7 -1 =41, etc.
P2.- Para cada valor j existen dos PGs, separados por 2 unidades. Los llamaremos Primos Genéricos Gemelos ( hay infinitos,con j ). Asimismo, para un mismo valor j pueden existir dos VPs , que llamaremos Primos Gemelos, separados por 2 unidades. Ejemplos evidentes son 5 y 7, 11 y 13, 17,19... pero no 23,25, ni 35,37 etc . En la segunda parte, Conjetura, se intentará demostrar que hay infinitos pares de Primos Gemelos.
P3.- [PG+1] es un conjunto cuyos elementos son los de una progresión expresable como 6j+1 , o su equivalente 7+6n , y el conjunto [PG-1] análogamenta, está formado por los términos de la progresión 6j-1 o su equivalente 5+6n. Se consigue la equivalencia de ambas expresiones tomando diferente origen para las variables j, n: j=(1,∞) y n(0,∞)
( 6 j + 1 ) para (1≤ j ≤ ∞) ≡ ( 7 + 6 n) para ( 0≤ n ≤ ∞) ≡ 7,13,19.. ( 6 j – 1 ) para (1≤ j ≤ ∞) ≡ ( 5 + 6 n) para ( 0≤ n ≤ ∞) ≡ 5,11,17... (5)
P4.- Los VPs y FPs de cada clase pertenecen a los respectivos conjuntos PG de cada clase (3), y como tales son los términos de las citadas progresiones.
P5.- Los valores FP ( números compuestos, falsos primos ), se originan desde los productos y potencias enteras de valores VP, respetando las reglas del producto algebraico entre dichos factores, 6j+1 y 6j-1.
Procedimiento de Generación de FPs separados en clases +1 y -1
Todos sabemos que el proceso seguido en la tabla de Eratóstenes no distingue entre clase +1 y clase -1. Hallemos los FPs separados en ambas clases, generando todos los FPs posibles separados por su clase, obteniendo su distribución separada a lo largo de cada una de las dos clases de PGs. Los generamos desde cada uno de los VPs , obteniendo todos sus múltiplos en cada clase. Para cada VP1 empezamos generando los dos menores FPs asociados a él mediante dos productos binarios, uno consigo mismo , su cuadrado, siempre de clase +1, y el otro con el siguiente VP2>VP1 , de la clase opuesta, siempre de clase -1..
Ejemplo. Desde VP1=5, dos FPs inmediatos: uno (FP1) de clase +1, 5x5=25 y otro, (FP2), de clase-1, 5x7=35, siendo 7 el VP2>VP1 más próximo. Recordamos que un FP producto de dos PGs de la misma clase es otro PG de clase+1 y si son de distinta clase, de tipo -1.
A partir de ese par de FPs iniciales, FP1 y FP2, de cada clase, hallaremos y señalaremos los demás FPs múltiplos del VP1, mediante el :
“Teorema de las series de FPs: Se verifica que, para todo PG1=6 . j ± 1, los sucesivos PGs obtenidos desde él mediante la serie PGS=6 ( j + n . PG1) ±1, para todo n natural , son Falsos Primos, múltiplos de VP1 e infinitos, con n. En efecto: PGS= 6(j + n . PG1)±1=6j ± 1+ 6n. PG1= PG1 + 6n . PG1=PG1 (1 + 6n), ( 0< n < ∞) (6)
Por lo tanto, para todo VP1, que siempre es PG, y situándonos en los dos primeros FPs, ( FP1 y FP2) generados, uno en cada clase, bastará recorrer cada clase de PGs con una cadencia igual al valor VP1 y , de acuerdo con (6), señalar como FP los valores afectados, hasta el infinito.
Así, para VP1=5 son, FP1=5x5=25 y FP2=35 en cada clase, y cada 5, señalamos: Clase +1: 7 13 19 25* 31 37 43 49 55* 61 67 73 79 85* 91 97 103 Clase -1 : 5 11 17 23 29 35* 41 47 53 59 65* 71 77 83 89 95* 101
Ejemplo 2º . Dado VP1=7, FP1=7 x 7 = 49, y FP2=7 x 11=77, Serie+1 : 7 13 19 25 31 37 43 49* 55 61 67 73 79 85 91*97 103 109 115 121 127 133* y serie-1: 5 11 17 23 29 35 41 47 53 59 65 71 77* 83 89 95 101 107 113 119* 125 131”
Iniciado el proceso, no es preciso considerar valores ya señalados como FP por VPs anteriores , y así, con VP1=7, el valor FP= 35 , aunque múltiplo de 7, ya está señalado como FP desde el VP0=5 < VP1 , factor primo de 35, y no es necesario ocuparse de ellos , que ya están señalados desde secuencias anteriores. A medida que avanzamos en la tabla, igual que con la de Eratóstenes, los valores remanentes, menores, a la izquierda del VP1 de turno, son ya verdaderos primos hasta infinito.
Una curiosa consecuencia de lo anterior: Dado un PGF final de cálculo, desde cada VP1 hasta PGF hay dos intervalos en los que señalar FPs: En clase +1, {VP1xVP1, PGF }, y en la clase -1 , {VP1xVP2, PGF}. Como (VP1 xVP1,PGF,+1 ) > { VP1xVP2,PGF,-1 ), es más probable, con la misma cadencia VP1, obtener más FPs en el intervalo mayor, clase +1, que en el menor, clase -1. Esta ventaja de los FP+1, es nula o mínima en los primeros VP1, pequeños , y dependerá luego, en gran parte, de (VP2-VP1) así como de la distribución de los propios VPs de una y otra clase. Por eso la evolución de esa diferencia será muy variable , con grandes oscilaciones aunque creciente en promedio con los VP1.Ver tabla.
Corolario: Como el total de PGs de ambas clases es el mismo, [PG+1]=[ PG-1] hasta el PGF final considerado , y los términos VP y FP de cada clase son complementarios, la mayor aparición de FPs de una clase supone la disminución de los VPs correspondientes de la misma , de modo que, habiendo más FPs de clase +1, habrá menos términos VP+1 de esa misma clase, hasta el PGF final considerado, si PGF no es demasiado pequeño (≈<230), y por lo tanto:
En general, DIF = VP-1 – VP+1 ≥ 0, y DIF , en promedio, creciente con n .
Esta propiedad es de comprobación inmediata y por medios informáticos: Ejemplo:
En n=93229, hay 31076 PGs,9001 VPs,(4488 VP+1, 4513 VP-1),11050FP+1y 11025FP-1, datos obtenibles informáticamente. Ver DIF= VP-1- VP+1= 25. Sigue tabla
Hasta n VPs VPs-1 VP+1 DIF
101 24 13 11 1
499 93 48 45 3
1001 166 86 80 6
41521 4341 2176 2165 11
99991 9590 4806 4784 22
200227 18001 9006 8995 11
800599 64001 32054 31947 107
1062557 83001 41535 41466 69
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PARTE II.- CONJETURA de los Primos Gemelos
Existen infinitos pares de primos gemelos. Demostración.
Hemos visto en P3, (5), que las dos clases de Primos Genéricos, PG+1 y PG-1, por su propia definición, son sendas progresiones aritméticas de primeros términos 5 y 7 y una misma diferencia d=6 , que podemos expresar como, PG+1 = 7 + 6 x n y PG-1 = 5 + 6 x n , para ( 0 ≤ n ≤ ∞) , con diferencia= 6 y constantes coprimas entre sí , ( 7 ,6 ) y ( 5, 6). Según el
teorema de Dirichlet sobre progresiones de este tipo, (a +b.n ), en cada una de ellas hay infinitos números primos. Esto demuestra que hay infinitos VPs de cada clase, VP+1 en PG+1 y VP-1 en PG-1.
La diferencia entre dos VPs que tengan el mismo valor n será constante e igual a 2. Luego dos VPs de la misma n, serán primos gemelos. Ejemplo (7 + 6 n` ) – ( 5 +6 n` ) = 2. Por lo tanto:
A.- Se cumple la condición necesaria para la existencia de infinitos pares de primos gemelos, pues hay infinitos números primos disponibles de ambas clases.
B.- Aún podríamos plantearnos una dificultad para la formación de pares de primos gemelos. Que a partir de cierto valor VPZ de una u otra clase, se cumpla esta regularidad: Para todo VP>VPZ , su gemelo es un valor FP.
Pero sabemos que : La primalidad ( ser VP ó ser FP ) de cualquier PG depende de los VPs<PG ( cuyos productos pueden señalarlo como FP) , y por lo tanto es esencialmente variable a lo largo del conjunto [PG], a causa de la aparición de nuevos VPs de ambas clases , lo que resulta incompatible con la regularidad citada.
Reforzando, si fuera preciso, lo anterior, y según vimos en P5 , la generación separada de FPs desde un VP1, en cada clase, es independiente de la generacion en la otra clase , pues cada serie se inicia desde diferentes valores con una cadencia VP1, prima. Las sucesivas generaciones de FPs desde nuevos VPs siguen caminos análogos, siempre desde distintos orígenes y nuevas y distintas cadencias primas . No existiendo, por tanto, una relación estable entre los procesos de ambas clases, la supuesta regularidad carece de fundamentación.
Por lo tanto, : Existen infinitos pares de primos gemelos.
CC. PMBERCEO OM (diosoazar.com) citar autor y fuente
