Autor Tema: Numeros primos  (Leído 9325 veces)

cefas

  • moderator
  • Sr. Member
  • *
  • Mensajes: 430
  • nuevo usuario
Re:Numeros primos
« Respuesta #45 : noviembre 18, 2016, 01:24:26 pm »
Hola Deneb. Veo que el post es más bien largo y necesitaré unos días para leerlo y digerirlo. ESpero que me sea leve. Saludos.

deneb

  • moderator
  • Full Member
  • *
  • Mensajes: 228
  • nuevo usuario
Re:Numeros primos
« Respuesta #46 : diciembre 05, 2016, 12:01:47 pm »
Acabo de releer los post anteriores y me permito llamar la atención de los visitantes sobre esta extraña asimetría VP-1 > VP+1 , que se produce entre las dos poblaciones de primos. Claro que es una asimetría provocada por la clasificación sobre los múltiplos de 6, y no se observa en los métodos normales, pero cuando algo presenta asimetrías visto desde alguna perspectiva suele ser porque su estructura íntima presenta algún elemento de ese carácter...
Voy a traer a este tema otro post que puede ser de interés para los estudiosos o aficionados a este tema, y que trata sobre una variante de la fórmula general del número de primos menores que un n, aprovechando lo tratado en los posts hasta ahora. No creo que tenga una utilidad práctica inmediata, pero en matemáticas, lo práctico suele quedar velado por la propia belleza del mundo que descubre. Hay tanta belleza en el orden del mundo, que merece ser estudiada por sí misma porque , sin duda, es un reflejo de la belleza de su Creador.

deneb

  • moderator
  • Full Member
  • *
  • Mensajes: 228
  • nuevo usuario
Re:Numeros primos
« Respuesta #47 : diciembre 11, 2016, 03:43:22 am »
Primera parte: sobre la distribución de los números primos, fórmula general

PMBERCEOOM  CC Citar autor y fuentes (diosoazar)
                 Ordenando el campo de los Números Primos.
                                       Π(n)=  n /  ln (n)   ( n->∞ )
Analizando la distribución de los Números Primos...
Los números primos,  en su acepción más corriente, son enteros positivos, elementos del conjunto [N]  de los números naturales .Simplifiquemos su estudio  prescindiendo de los números compuestos más comunes, los múltiplos de 2 y de 3, así como de la unidad. El subconjunto de [N] que nos queda comienza en el 5 y está formado por los pares de enteros contiguos a cada múltiplo de 6. Expresado en forma general, nuestro conjunto contiene  elementos de dos formas:
6 j+1  y  6j-1  , para  todo  j entero y ( 1 ≤  j < ∞ ),  dos para cada j.
Para j=1,  5 y 7; para j=2, 11 y 13, y así sucesivamente para todo j entero.               
es decir , los números situados a derecha e izquierda de los múltiplos de 6. Este subconjunto de [N]  contiene, por tanto, un elemento  de cada tres  de [N] , lo que lo convierte en un subconjunto infinito de [N] que aquí  representaremos como  [N/3] ,   con la convención citada.  Como cualquier elemento de este conjunto  ( 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29 ...) puede ser visto, en principio, como un posible verdadero primo ( VP), lo llamaremos  conjunto de los Primos Genéricos [PG] ,  que coincide con nuestro  [N/3] .  De esos primos genéricos, una parte son  verdaderos primos, VPs, ( 5,7,127...) y el resto números compuestos , que llamaremos Falsos Primos, FPs, (25,35,49,55,65,77,91...).
 O sea:    [N/3] = [PG]=  {  5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35,37, .... ∞ }

Todo FP está formado por el producto de dos o más  factores VP distintos o iguales . ( Ya eliminamos el 2 y el 3)  . Ejemplos:  FP,  91= 7 x 13,  121=11 x 11 ,  125=5x5x5 =5x25, 175= 5x5x7=35x5=7x25 ...


Cálculo de PGs y VPs menores o igual a un n dado:
1.- Número de PGs≤ n: Este número puede calcularse exactamente a partir del valor j del número n dado, teniendo en cuenta la clase..
Si n no es un PG, bastará hallar el PG≤n ( Múltiplo de 6±1) más próximo y expresarlo mediante  6 j ±1, y tenemos nº(PGs≤n)≈2.j, según ejemplos.
 Ej.1.-  n=63. PG próximo 61=6 x10+1.  J=10.  nº PGs = 20 PGs                 
 Ej.2.-  n=59. PG  59=6x10-1.  2xj=20  con último par incompleto. PGs=19
                                         La cuestión clave:
2.-Número de VPs ≤ n : Notemos que en el enunciado del problema general de cuántos primos hay hasta n, nos referimos a n como un número natural, prescindiendo de los PG, VG, FP  etc usados aquí.
 Al contrario que en los cálculos anteriores sobre PGs,  no podemos calcular el número de VPs ≤ n con exactitud, pero intentaremos una aproximación lógica, teniendo en cuenta todo lo anterior.
 Por una parte,  tratando de valorar el factor que favorece la aparición de mayor número de VPs,  tenemos que considerar que el número de VPs ≤n  debe ser cierta función de n, p.e.  K. δ (n) , pues a n mayor, más números involucrados, y mayor  probabilidad de encontrar nuevos VPs,  con una expresión parcial, posible o aproximada del tipo:
                                       ∑1º VPs≈K.δ(n)                 1                                                           
Por otra parte, analicemos el o los factores que obrarán en detrimento de la aparición de nuevos VPs. Los valores cuyo incremento deriva en disminución de nuevos VPs son claramente los PGs, generadores de los FPs, cuya aparición desbarata cada candidaturas afectada. Para estudiar este proceso, debemos situarnos en los conjuntos  [PG], [FP] y ]VP].
Los FPs, escasos al principio, VPs=5,7,11,13,17,19,23...FP1º= 25 , se harán cada vez más frecuentes a medida que son creados por productos de los PGs anteriores. Esta frecuencia creciente de FPs hace que la de los VPs disminuya progresivamente, y nos obliga a considerar una expresión que señale este decrecimiento de los VPs  ligado a la aparición progresiva de FPs en el campo PG.
La tasa de apariciones de VPs respecto de los FPs se hace menor a medida que n crece. Y eso ocurre porque , como de cada VP se pueden deducir infinitos FPs ( entre ellos , p.e. sus potencias sucesivas), y está claro que la relacion FPs/VPs es creciente con n , con lo cual el   ∑2 VPs  resultará en alguna función inversa de los FPs ≤n , y  podríamos escribir una expresión en función de los FPs
                                    ∑2 VPs≈K´/φ(FPs≤n)                         2
Combinando ambos efectos, ∑1 and  ∑2, llegaríamos a una expresión genérica   que  podría tomar una forma como ( sin el ≤n  repetitivo ):
          ∑T=VPs ≈ ∑1 .∑2= β .( δ(n)/φ(FPs))                  3
 El aspecto esencial de esta expresión es que debe tomar en cuenta tanto el valor n en el numerador como el valor FP en el denominador. Notemos que  β  y las funciones  δ   y  φ   son desconocidas  e inexpresables exactamente mediante algunas conocidas, pues el proceso es en sí mismo discontinuo, discreto. Lo que históricamente ha ocurrido es que se han localizado  funciones  que se han demostrado  útiles, proporcionando resultados  aproximados, asintóticos.
Con  β=1   δ(n)≡n   y    φ(n )≡Ln(n),  sin usar FPs , resulta la clásica
                                VPs ≤ n ≈     π(n)=n/ln(n)                 4
Aprovechando este formato,  y adecuándolo a nuestro razonamiento anterior, intentemos sustituir, en primera instancia, el ln(n)  por nuestro  ln(FPs), resultando la expresión que sigue ,
                                        π   (n)≈n/ln(FPs)                 5
Pero no conocemos el valor de FPs  ni  ln(FPs) ,  aunque tal vez podríamos sustituírlo por una cota superior log(PGs) o su igual log (n/3), exacta,  si el error asumido resulta tolerable. Como ambos valores FPs y PGs resultan infinitos, con n→∞,  a medida que n crezca tal vez sea posible tomar un valor por otro. De hecho, de cada VP surgen infinitos FPs exclusivos , solo de sus potencias sucesivas, de modo que,  para valores n crecientes finitos, VP/FP decrecerá indefinidamente...
FP  +  VP   =   PG,   y tenemos, dividiendo ambos miembros por FP        FP/FP  +  VP/FP   =  PG/FP  , con      VP/FP → ϵ cuando n→∞                        Lo que nos permite suponer  PG/FP → 1  ó PG=FP a medida que n crece... Aceptamos, finalmente
            VPs≤n  →   π(n)≈n/ln(PG) ≈n/ln(n/3)                      7
« Última Modificación: diciembre 11, 2016, 04:02:13 am por petrusdoa »

deneb

  • moderator
  • Full Member
  • *
  • Mensajes: 228
  • nuevo usuario
Re:Numeros primos
« Respuesta #48 : diciembre 11, 2016, 04:32:18 am »
Parte segunda, Fórmula general distribución de números primos

Citar autor y fuentes PMBERCEOOM ( diosoazar) CC

Tabulando la función (7) para valores n,  y comparando en principio  los resultados con los que produce la expresión clásica  π(n)=n /ln(n)  , se  observa una precisión muy mejorada , al menos en la gama de valores  calculados,  100<n< 6x10E6.  Para n<100,  con escasos  FPs, la 7 es menos exacta que 6, como se ha señalado, al no haber apenas FPs, recuperándose rápidamente.  Es difícil extender, como es lógico, la validez de este resultado numérico de mejora  a todo el campo ∞ de los VPs, pues los ∞ son de difícil manejo, pero la lógica de la influencia de los FPs crecientes respecto de los VPs nos obliga a creer que permanecerá válida en todo el campo N, mejorando a la clásica en los mismos órdenes o  o parecidos. Adicionalmente, propondremos alguna mejora menor, que acreciente la precisión de los resultados.
Las tangentes de las gráficas de los valores PG, FP y VP para abscisas n, ( crecimiento de los valores PG FP y VP) , y para valores de n≈≥100 , guardan entre sí la relación
                                   tg PG> tg FP >tg VP                             8
A pesar de los posibles éxitos ,  la aparición y frecuencia  de los primos VP en general no parece seguir ninguna secuencia expresable en términos exactos, lo que es lógico por tratarse de una secuencia discontinua, discreta , en la que los saltos son impredecibles y  variables paso a paso, VP a VP. Todo ello hace por ahora casi imposible determinar una expresión exacta y nuestra fórmula tampoco la es. Pero en el terreno de las  aproximaciones, que es el que guía muchos de los intentos en este asunto, consideramos que el término n/3 introducido en el denominador de la fórmula general π(n), tiene un primer apoyo lógico e interviene decisivamente mejorando la precisión de 4  a partir de n=100 aprox...
Propuesta :  como primer paso, asociar el valor N/3≈PGs   al denominador de la expresión clásica A que  quedaria de la siguiente forma, B,
         Π(n)= n / ln (n)      (A)      vs        Π(n)=n / ln (n/3)   (B)
Para determinar la eficacia del cambio, adjuntamos un resumen o tabla con las siguientes entradas, obtenida informáticamente :
     N           VPs<N        VP según A    errorA    VP según B     errorB
  ≥100                               Defecto          --            Exceso             +                   
7993         1000                883              117          1006                6
17401        2000              1782             21 8         2008                 8
104 759     10000            9062             93 8         1014               14
200201      18000          16400            1600         18022              22
249463        22000       20074           1946          22020               20
300073        26000        23793           2207         26063               63
506171        42000        38537           3463         42054               54
1006751      79000        72835           6165         79124             124
1511569     115000     106234           8766       115122              122
3497873     250000     232144         17856        250401             401
5487761     380000      353633        26367       380581              581
 
 Observando el error absoluto de ambas aproximaciones, se comprueba una mejora sustancial para nuestra propuesta  (B).

Aproximaciones notables. Sabiendo que el valor n/3 propuesto adolece de los defectos de cualquier cálculo empírico y aproximado, proponemos  utilizar  de  n/2.94  a  n/2.95 , que resultan  más exactos  que el  n/3,  en los valores de los intervalos de prueba, hasta al menos n= 6 x10E6.
                      Π(n)=n / ln (n/2.94)      a      n/ln (n/2.95)           (9)
Sería interesante comprobar la exactitud de este proceso para números n extremadamente grandes, donde sea conocido el  valor   FP  de nuestro denominador, recordando que n/3 es en realidad  PG y  n/2.9.. tan solo aproximaciones .

Existe un valor notable en el campo de los VPs.  Dado n, puede obtenerse el valor  JX=+√n/6     que marca una cota superior J  de  los menores VPs  generadores hasta n.
Asociando este valor a  (9) se obtienen expresiones que dan valores π(n)  mejorados, que compiten  con los obtenidos con integrales Li , al menos hasta valores n≤10.000,.000. 
                          π(n)=n/ln(n/(2.95)) + ln(JX)     (11) 
hasta  n                      VP              error VPs s/(11)               err.   VPs s/Li
 3377009                  242000                       72                              128       
4639289                   325000                     147                              175         
5007619                  349000                       92                              109     
7258109                  493000                       223                             157
En los cálculos realizados, se observa un paralelismo notable en las variaciones de los resultados de la (11) y los de Li ( desarrollada hasta exp=6), como si ambas expresiones obedecieran a un mismo esquema final aunque con diferente expresión matemática.
Nota final. Las (9)  y (11) pueden dar,  a veces , y con las prevenciones lógicas ligadas a  un cálculo informático , error=0, 1  en el pronóstico  π(n)  lo que constituye una agradable sorpresa y  puede ser un síntoma que guíe a otros en la búsqueda de la precisión total.
 Lucronium , 10-11-2016   PMBERCEOOM  CC  Citar autor y fuentes
« Última Modificación: diciembre 11, 2016, 04:48:46 am por petrusdoa »

cefas

  • moderator
  • Sr. Member
  • *
  • Mensajes: 430
  • nuevo usuario
Re:Numeros primos
« Respuesta #49 : diciembre 11, 2016, 10:47:29 am »
Hola Deneb. He probado su (9), la {NP hasta n =n/ln(n/2.95)} en el intervalo 0<n<200000 y la fórmula ha logrado 2167 aproximaciones al número total de primos con error <1, o sea que ha acertado más de dos mil veces en el número de primos en ese intervalo, que son 18000. No conozco muchos detalles de otros métodos y expresiones, pero me parece notable... Ya me gustaría a mí , y a muchos otros, conseguir esa tasa de aciertos en las quinielas. Voy a probar la tasa de error <2... y han sido 4186 aproximaciones, que es casi exactamente el doble. Pruebo hasta error<10, y ya son 16444 aproximaciones de ese orden.
Y ya puesto, voy a probar éxitos de error cero , aunque como uso el Pc con abs e ints..., pondré error< 0.1, y obtengo 220 casos de aproximaciones por debajo de 0.1...
Respecto de la fórmula básica de su estudio, la del n/3 original, es un poco más modesta aunque fácil de recordar. Aún así, ha conseguido 151 aciertos por debajo del error <2.
Y en un cálculo resumen, para (5<n<506173) , su n/ln(n/2.95), ha conseguido 3633 pronósticos con error<1 en un conjunto final de 42000 primos. Animo a los expertos en el tema a examinar y criticar su estudio en lo que proceda.

deneb

  • moderator
  • Full Member
  • *
  • Mensajes: 228
  • nuevo usuario
Re:Numeros primos
« Respuesta #50 : diciembre 12, 2016, 02:54:58 am »
Parte tercera:Conjetura de los primos gemelos. Propuesta de demostración.

Referencias: PMBERCEO OM   ( diosoazar.com )  CC citar autor y fuente

La Conjetura de los primos gemelos establece que hay infinitos pares de números primos separados por dos unidades o, lo que es lo mismo, infinitos pares de primos gemelos.
A continuación damos una demostración apoyada en la clasificación de los números primos en dos clases que venimos usando en las dos partes anteriores.
                     
CC. Citar autor y fuente PMBERCEO OM (diosoazar.com)

                                  Conjetura de los primos Gemelos

Parte I.-   Estructura y distribución de los Números Primos
Para no complicar demasiado el estudio con definiciones exhaustivas, llamaremos  aquí  Número Primo, al número natural ( entero positivo) solo divisible  exactamente por sí mismo y por la unidad, que no coincide exactamente con la definición del DRAE: “ Número entero * que solo es exactamente divisible por sí mismo y por la unidad”. Para este estudio , comenzamos eliminando del  conjunto [N] de los naturales, además del  uno,  el 2 y el 3 ( primos elementales) y sus múltiplos.  El conjunto resultante está formado por {5,7,11,13,17,19...}, números naturales  de dos clases,  6 j-1  y  6 j+1 , para todo j entero positivo ≥1 , que llamamos Primos Genéricos o PG, de expresión genérica  PG = 6.j±1.
[PG]={5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43,47,49,53,55,59,61,65,...}
[PG]=( 5=6x1-1,  7=6x1+1,  11=6x2-1,  13=6x2+1...............,31,35,37,41...).
 De ellos, unos son  verdaderos números primos, VP, y el resto, números compuestos o falsos primos,  FP , cada uno  de una u otra clase, +1 y -1.  Se muestran listados iniciales de algunos de dichos conjuntos:
[PG]=[VP] + [FP]=(5,7,11,13,17,19,...) + (25,35,49,55,65,77...)          (1)
[PG]=[PG+1] + [PG-1]=(7,13,19,25,31...,) +(5,11,17,23,29,...)             (2)
[PG]={ PG+1 } + { PG-1 }=  { [VP+1] + [FP+1] }  +  { [VP-1 ] + [FP-1] }     (3)  Para mayor sencillez, expresamos unión de conjuntos con + en vez de ∪.         
A su vez,  [VP]=[VP+1 ]+[VP-1]    y   [FP]=[FP+1]+[FP-1]        (4)      [VP+1]=(7,13,19,31,37,43, ...)         [ VP-1]=(5.11.17,23,29,41)                                     [FP+1] =(25,49,55,85, ...)                   [FP-1]=(35,65,77,...)

Propiedades:

P1.- En el conjunto [PG]  de cada clase , el valor j señala el ordinal que ocupa cada uno. Así, en la clase PG+1, el cuarto término será 6 x 4 +1=25 , el quinto será 6 x 5 +1 =31, etc . En PG-1, el 7º será 6 x 7 -1 =41, etc.

P2.- Para cada valor j existen dos PGs, separados por 2 unidades. Los  llamaremos Primos Genéricos Gemelos ( hay  infinitos,con j ). Asimismo, para un mismo valor j pueden existir dos VPs , que llamaremos Primos Gemelos, separados por 2 unidades. Ejemplos evidentes son 5 y 7, 11 y 13, 17,19... pero no  23,25, ni  35,37 etc . En la segunda parte, Conjetura, se intentará  demostrar que hay infinitos pares de Primos Gemelos.

P3.- [PG+1] es un conjunto cuyos elementos son los de una progresión expresable como  6j+1 , o su equivalente  7+6n ,  y el conjunto [PG-1] análogamenta, está formado por los términos de la progresión  6j-1 o su equivalente  5+6n.  Se consigue la equivalencia de  ambas expresiones  tomando diferente origen para las variables j, n:  j=(1,∞)  y  n(0,∞)             
( 6 j + 1 ) para  (1≤ j ≤ ∞)  ≡  ( 7 +  6  n)   para (  0≤ n ≤ ∞) ≡ 7,13,19..              ( 6 j – 1 ) para  (1≤ j ≤ ∞)  ≡  ( 5 +  6  n)   para (  0≤ n ≤ ∞) ≡ 5,11,17...      (5)

P4.- Los VPs y FPs de cada clase  pertenecen a los respectivos conjuntos PG de cada clase (3), y como tales son los términos de las citadas progresiones.

P5.- Los valores FP ( números compuestos, falsos primos ), se originan desde los productos y potencias enteras de valores VP, respetando las reglas del producto algebraico entre dichos factores,  6j+1 y  6j-1.
   Procedimiento de Generación de FPs separados en clases +1 y -1
Todos sabemos que el proceso seguido en la tabla de Eratóstenes no distingue entre  clase +1 y clase -1.  Hallemos los FPs separados en ambas clases, generando todos los FPs posibles separados por su clase,  obteniendo su distribución separada a lo largo de cada una de las dos clases de PGs.  Los generamos desde cada uno de los VPs , obteniendo todos sus múltiplos en cada clase. Para cada VP1 empezamos generando los dos menores FPs asociados a él  mediante dos productos binarios, uno consigo mismo , su cuadrado,  siempre de clase +1, y el otro con el siguiente VP2>VP1 ,  de la clase opuesta, siempre de clase -1..
Ejemplo. Desde  VP1=5, dos FPs inmediatos:  uno (FP1) de  clase +1, 5x5=25 y otro, (FP2),  de clase-1, 5x7=35, siendo 7 el VP2>VP1 más próximo. Recordamos que  un  FP producto de dos PGs de la misma clase es otro PG de clase+1 y  si son de distinta clase, de tipo -1.
A partir de ese par de FPs iniciales, FP1 y FP2, de cada clase, hallaremos y señalaremos los demás FPs múltiplos del VP1,  mediante el :
“Teorema de las series de FPs:  Se verifica que, para todo PG1=6 . j ± 1,  los sucesivos PGs obtenidos desde él mediante  la serie  PGS=6 ( j + n . PG1) ±1,  para todo n natural , son Falsos Primos,  múltiplos de VP1 e infinitos, con n. En efecto:                           PGS= 6(j + n . PG1)±1=6j ± 1+ 6n. PG1= PG1 + 6n . PG1=PG1 (1 + 6n), ( 0< n < ∞)  (6)
Por lo tanto, para todo VP1, que siempre es PG, y situándonos en los dos primeros FPs, ( FP1 y FP2) generados, uno en cada clase, bastará recorrer cada clase de PGs  con una cadencia igual al valor VP1 y , de acuerdo con (6), señalar como FP los valores afectados, hasta el infinito.
Así, para VP1=5 son, FP1=5x5=25 y FP2=35 en cada clase, y cada 5, señalamos:       Clase +1:  7  13  19  25* 31  37  43  49  55*  61  67  73  79  85*  91  97  103                Clase -1 :  5  11  17   23  29  35*  41  47  53  59  65* 71  77  83 89  95* 101
Ejemplo 2º . Dado VP1=7,  FP1=7 x 7 = 49, y FP2=7 x 11=77,                                       Serie+1 : 7 13 19 25 31 37 43 49* 55 61 67 73 79 85 91*97 103 109 115 121 127 133*  y serie-1:  5 11 17 23 29 35 41 47 53 59 65 71 77* 83 89 95 101 107 113 119* 125 131”
Iniciado el proceso, no es preciso  considerar valores ya señalados como FP por VPs anteriores , y así, con VP1=7, el valor FP= 35  , aunque múltiplo de 7, ya está señalado como FP desde el VP0=5 < VP1 ,  factor primo de 35, y no es necesario ocuparse de ellos , que ya están  señalados desde secuencias anteriores. A medida que avanzamos en la tabla, igual que con la de Eratóstenes, los valores remanentes, menores,  a la izquierda del VP1 de turno, son ya verdaderos primos hasta infinito.

Una curiosa consecuencia de lo anterior:  Dado un PGF final de cálculo, desde cada VP1 hasta PGF hay dos intervalos en los que señalar FPs: En clase +1, {VP1xVP1, PGF }, y en la clase -1  , {VP1xVP2, PGF}.   Como    (VP1 xVP1,PGF,+1 ) > { VP1xVP2,PGF,-1 ), es más probable, con la misma cadencia VP1, obtener más FPs en el intervalo mayor, clase +1, que en el menor, clase -1.  Esta ventaja de los FP+1, es nula o mínima en los primeros VP1, pequeños ,  y dependerá luego, en gran parte,  de  (VP2-VP1)  así como de la distribución de los propios  VPs de una y otra clase. Por eso la  evolución de esa diferencia será muy variable , con grandes oscilaciones aunque creciente en promedio con los VP1.Ver tabla.
Corolario: Como el total de PGs de ambas clases  es el mismo,  [PG+1]=[ PG-1] hasta el PGF final considerado , y  los términos VP y FP de cada clase son complementarios, la mayor aparición de FPs de una clase supone la disminución de los VPs correspondientes de la misma , de modo que, habiendo más FPs de clase +1, habrá menos términos VP+1 de esa misma clase, hasta el PGF final considerado, si PGF no es demasiado pequeño (≈<230), y por lo tanto:
    En general,  DIF = VP-1 – VP+1  ≥ 0,  y DIF , en promedio, creciente con n .
Esta propiedad es de comprobación inmediata y por medios informáticos: Ejemplo:
En n=93229, hay 31076 PGs,9001 VPs,(4488 VP+1, 4513 VP-1),11050FP+1y 11025FP-1,  datos obtenibles informáticamente. Ver DIF= VP-1- VP+1= 25.  Sigue tabla
Hasta n        VPs               VPs-1             VP+1            DIF               
    101            24                  13                    11                1                 
    499           93                   48                     45               3                 
1001            166                   86                   80                6                   
41521        4341               2176               2165             11                 
99991        9590                4806              4784              22                 
200227    18001               9006              8995              11
800599   64001              32054            31947           107
1062557  83001             41535           41466             69

                                *************************









PARTE II.-     CONJETURA de los Primos Gemelos
Existen infinitos pares de primos gemelos. Demostración.
Hemos visto en P3, (5), que las dos clases de  Primos Genéricos, PG+1 y PG-1, por su propia definición, son  sendas progresiones aritméticas de primeros términos  5 y 7 y una misma diferencia  d=6 , que podemos expresar como,  PG+1 = 7 + 6 x n    y    PG-1 = 5 + 6 x n  ,   para  ( 0 ≤ n ≤ ∞) ,  con diferencia= 6  y  constantes coprimas entre sí , ( 7 ,6 ) y ( 5, 6). Según el teorema de Dirichlet sobre progresiones  de este tipo, (a +b.n ),  en cada una de ellas hay infinitos números primos. Esto demuestra que hay infinitos VPs de cada clase, VP+1 en PG+1 y VP-1 en PG-1.
La diferencia entre dos VPs que tengan el mismo  valor n será constante e igual a 2. Luego dos VPs de la misma n, serán primos gemelos. Ejemplo    (7 + 6 n` ) – ( 5 +6 n` ) = 2.  Por lo tanto:
A.- Se cumple la condición  necesaria para la existencia de infinitos pares de primos gemelos, pues hay infinitos números primos disponibles de ambas clases.
B.- Aún podríamos plantearnos una dificultad para la formación de pares de primos gemelos. Que a partir de cierto valor VPZ de una u otra clase, se cumpla esta regularidad:  Para todo VP>VPZ , su gemelo es un valor FP.
Pero sabemos que :  La primalidad ( ser VP ó ser FP ) de cualquier PG depende de los VPs<PG  ( cuyos productos pueden señalarlo como FP) , y por lo tanto es esencialmente variable a lo largo del conjunto [PG], a causa de la aparición de nuevos VPs de ambas clases ,  lo que resulta  incompatible con la regularidad  citada.
Reforzando, si fuera preciso, lo anterior, y según vimos en P5 , la generación separada de FPs desde un VP1, en cada clase, es independiente de la generacion en la otra clase ,  pues cada serie  se inicia desde diferentes valores con una cadencia VP1, prima. Las sucesivas generaciones de FPs desde nuevos VPs siguen caminos análogos, siempre desde distintos  orígenes y nuevas y distintas cadencias  primas  .  No existiendo, por tanto, una relación estable entre los procesos de ambas clases, la supuesta regularidad carece de fundamentación.
Por lo tanto, : Existen infinitos pares de primos gemelos.
CC.  PMBERCEO OM  (diosoazar.com)  citar autor y fuente

deneb

  • moderator
  • Full Member
  • *
  • Mensajes: 228
  • nuevo usuario
Re:Numeros primos
« Respuesta #51 : enero 03, 2017, 12:32:41 pm »
Otra Conjetura acerca de los números primos

Conjetura :  Hay infinitos primos del tipo  2^n-1.

Previos: Si eliminamos del conjunto [N] el  1,2,3 y sus múltiplos, el remanente es un conjunto que contiene infinitos números  , expresables como 6 j+1 o como 6j -1, a los que llamamos primos genéricos ( PGs), entre los cuales se hallarán todos los verdaderos primos, que expresaremos como VPs.   Disponemos de infinitos candidatos a VP, como podemos ver: Candidatos: 5,7, 11,13, 17,19, 23,25,... un par para cada j, unos primos y otros compuestos. Veamos,  de esos candidatos PGs,  los que cumplen la conjetura, ser  2^n-1  y ser  VPs.
Tipo  6 j +1
Si hay primos VPs de este tipo, 6j +1, debe cumplirse   2^n-1 = 6 j+1,  que equivale a  la igualdad  2^n-2 = 6j,  de donde   j=(2^n-2)/ 6 =  (2^n-2)/2 . 3 = (2^(n-1)-1)/3   (1).  Examinando (1), vemos que hay infinitos casos, variando n,  en los que esta fracción pueda ser  múltiplo de 3 y produzca un j entero y, con ello, un PG+1, primo o no.
Como en (1) hay infinitos términos, tomando el  n adecuado , hay infinitos números enteros  PG+1 candidatos ... y si  tenemos  infinitos candidatos, hay infinitos VPs del tipo 6j+1 , o sea VP+1, sin tener en cuenta los valores 1,2 y 3. Recordemos que hay infinitos VPs de cada tipo (s/ Dirichlet, demostración  de la  conjetura de primos gemelos del mismo autor). No obstante, aún  siendo infinitos, muchos VPs+1  ordinarios no son  del tipo 2^n-1, de modo que los que cumplen la conjetura son muchos menos , si no nos posicionamos en el infinito... Así, son VPs+1 los números 7,13,19,31,37,43... pero de ellos son valores propios de esta conjetura, tan solo  los siguientes:  7 y 31, 7=2^3-1 =8-1  y 31=2^4-1=32-1 y después los  siguientes serán  el 127 y 8191 , muchos menos que los VPs ordinarios. Pero como disponemos de tantos n para exponentes, siempre se podrá buscar el siguiente...

Tipo 6j-1
Siguiendo el mismo procedimiento , deben  ser  2^n-1= 6 j -1, lo que equivale a
2^n=6j, que para j entera debe ser   j=2^n/3  entera. Pero eso es  imposible.
Luego no hay ningún posible PG-1 candidato y por tanto ningún primo de tipo 6j-1 .
Conclusión:  La conjetura es cierta, pero solo para los VPs de tipo 6j+1
Hay infinitos primos de tipo 2^n-1,  pero todos son del tipo 6 j +1  ( 7,31,127,...)
Tabla: E=3, PG=2^3-1=7;   E=5, PG=2^5-1=32-1=31;   E=7, PG=2^7-1=127;   E=13,PG=8191
(VP)
Logroño 3 de enero de 2017
Citar autor y origen CC
PMBerceo OM  ( diosoazar)

deneb

  • moderator
  • Full Member
  • *
  • Mensajes: 228
  • nuevo usuario
Re:Numeros primos
« Respuesta #52 : enero 04, 2017, 02:42:30 am »
Un comentario sobre la demostración anterior: Como la expresión general del número analizado contiene potencias crecientes de 2,  2^n-1 se hace rápidamente tan grande que es prácticamente imposible dar ejemplos con valores de n que podemos considerar normales, como n=100000, por ejemplo. ( M=2^100000; log (M)=100000. log (2)= 100000 . 0.301030=30103; M tiene aprox. 30103 cifras enteras, unas cuantas páginas completas para un solo número). Por eso los ejemplos que se aducen son tan escasos, pues enseguida manejamos números enormes.Por ello, hemos de manejarnos con conceptos más que con ejemplos.
Y aunque el número de valores 2^n-1 que sean primos es mucho menor que los valores n primos, sin embargo, como disponemos de infinitos candidatos a primo de la forma 2^n-1 ( el tamaño no importa), y todos esos candidatos son a la vez valores PG... , por pequeña que sea la fracción de ellos que sea VP, sabemos que cualquier fracción>0 de un infinito es a su vez infinito...
Por ejemplo, si en el conjunto de los VPs me quedo con uno de cada mil trillones, hay tantos que , al final, también tendré infinitos. Es lo bueno de manejarse con infinitos:  aunque no sepamos en realidad por qué ocurre lo que ocurre, por lo menos nunca faltan suministros. :)

deneb

  • moderator
  • Full Member
  • *
  • Mensajes: 228
  • nuevo usuario
Re:Numeros primos
« Respuesta #53 : enero 04, 2017, 02:32:37 pm »
El mismo procedimiento podemos aplicarlo a la conjetura de que entre los números 2^n +1 hay infinitos primos. Lo que ocurre en este caso es que los VPs serán ahora del tipo VP-1=6j -1 . Luego podemos afirmar que en ambos casos hay infinitos VPs. Los primeros casos serían:
Exponente E=1  n=3, E=2 n=5,  E=4  n=17, E=8 n=257, E=16 n=65537 , ( salvo el 3, son VP-1)

PMBERCEO OM (diosoazar) CC
citar autor y origen
« Última Modificación: enero 04, 2017, 02:35:50 pm por petrusdoa »

deneb

  • moderator
  • Full Member
  • *
  • Mensajes: 228
  • nuevo usuario
Re:Numeros primos
« Respuesta #54 : enero 10, 2017, 01:00:33 pm »
Para quienes desean estudiar o analizar la demostración de la conjetura de los primos gemelos, que puede parecer un tanto larga, presento en unas pocas líneas el resumen del camino seguido, a fin de que pueda ser mejor comprendida y, en su caso, discutida.

                             ABSTRACT. RESUMEN de la demostración
Se empieza ordenando los números candidatos a primos ( los Primos Genéricos, PG ) en dos clases : los 6j+1 y 6j-1 para todo j entero. ( PG+1 y PG-1)
Se identifican ambas clases con sendas progresiones aritméticas de diferencia 6 y constantes coprimas 5+6 n  y  7+6 n .
A continuación se examina el modo en que, en ambas clases, se producen los falsos primos o números compuestos ( FP). Los números restantes serán los verdaderos Primos ( VP)
Se aplica el Teorema de Dirichlet sobre ese tipo de progresiones, que contienen infinitos primos.
Se demuestra así que hay infinitos primos de cada clase y que pueden formar pares.
Finalmente, se deducen las condiciones suficientes y necesarias para la existencia de infinitos pares gemelos.

citar autor yorigen
PMBERCEO OM  (diosoazar) CC

deneb

  • moderator
  • Full Member
  • *
  • Mensajes: 228
  • nuevo usuario
Re:Numeros primos
« Respuesta #55 : enero 15, 2017, 01:01:20 pm »
Sobre las conjeturas de las infinitas parejas de primos separados por valores 2n.
Con el mismo sistema y procedimiento, una vez demostrado (ver conjetura de primos gemelos) que existen infinitos números primos VPs de cada clase, 6j+1 y 6j-1, y que su distribución a lo largo del campo de los PGs de cada clase sigue procedimientos independientes, también resultarán infinitos los posibles pares de primos cuya diferencia entre ellos sea múltiplo de dos. El mismo razonamiento empleado para la conjetura de primos gemelos es válido para cualquiera de estos supuestos sin más que sustituir 2 por 2n.
PMBERCEO OM  (diosoazar.com)
CC citar autor y fuente
« Última Modificación: febrero 12, 2017, 12:01:33 pm por petrusdoa »

deneb

  • moderator
  • Full Member
  • *
  • Mensajes: 228
  • nuevo usuario
Re:Numeros primos
« Respuesta #56 : enero 08, 2018, 04:19:54 am »
Los Reyes Magos me dejaron el sábado varios regalos, seguramente por haber sido poco malo durante 2017. Uno de ellos era un sencillo sobre , con unos apuntes , de un paje imaginativo del séquito de Gaspar, que decía:
" Hola Deneb. Los números primos, para ser primos, deben comportarse como los humanos para ser primos. Para que yo sea primo, debo tener tíos, al menos uno, que haya tenido hijos, lo que supone que mis padres hayan tenido algún hermano... etc . En definitiva, que ser primo de alguien no supone ningún mérito personal, sino que depende de los méritos o errores de los demás. Análogamente, eso que llamas primalidad ( los pajes reales tenemos Pcs y leemos diosoazar.com ) , depende o es función de los números primos menores que el n considerado. Así que te sugiero que no sigas volviéndote loco buscando en el número alguna característica que lo identifique como primo...
Esto es un regalo no oficial, pues no lo ha visto Gaspar, mi jefe, así que sé discreto . Un abrazo. Matmat el Diligente ,  Paje de Segunda Clase del Rey Mago Gaspar".
No he sido discreto, como bien se ve, pero no creo que el gran jefe Rey Mago Gaspar se dedique a leernos. Bastante tiene con controlar cómo se portan, durante todo un año, los niños a su cargo, esos locos bajitos que no se están completamente quietos ni cuando creemos que están dormidos...

deneb

  • moderator
  • Full Member
  • *
  • Mensajes: 228
  • nuevo usuario
Re:Numeros primos
« Respuesta #57 : mayo 14, 2018, 03:13:12 am »
Para aficionados a calcular o buscar solidariamente números primos inmensos, de esos que necesitan miles de días de cálculo de estos PCs de ahora, existen movimientos , equipos  de calculadores que permiten asociarse a ellos y compartir  potencia de cálculo para , entre todos, descubrir primos progresivamente mayores. La ventaja gloriosa del asunto es que la gloria del descubrimiento, el premio, se lo lleva el Pc que lo alcanza... en el equipo de trabajo, y en ese momento final. Se puede probar en sitios como Great Internet Mersenne Prime Search y, si hay suerte, ser un descubridor de algún primo de treinta millones de dígitos... que necesita unos diez años para ser escrito, a una cifra por segundo.

cefas

  • moderator
  • Sr. Member
  • *
  • Mensajes: 430
  • nuevo usuario
Re:Numeros primos
« Respuesta #58 : mayo 16, 2018, 03:39:06 am »
Los buscadores de primos rebuscan entre números especiales, como son los números de Mersenne, que son los que se expresan como Mn= 2E·n-1, por ejemplo M2= 2E2-1=4-1=3. En ellos se cumple que si son primos, resulta que n también lo es,de modo que solo se busca entre los que tienen ese valor n primo... Así que, si n no es primo, por ejemplo si n=4, el M4 es 2E4-1=16-1=15 que, obviamente, no es primo... Por eso, se busca si es primo Mn solo para valores n primos, que resulta menos pesado que ir buscando un valor tras otro. Digamos que esos Mn resultan "sospechosos" y por eso mismo, candidatos a primos grandes. Curiosamente, todos ellos resultan ser PG, según nuestra clasificación, como no puede ser de otro modo..


cefas

  • moderator
  • Sr. Member
  • *
  • Mensajes: 430
  • nuevo usuario
Re:Numeros primos
« Respuesta #59 : julio 06, 2019, 10:50:42 am »

Uno de los asuntos o conjeturas matemáticas sobre números primos que siguen sin resolverse es el que llamamos “conjetura débil de Goldbach”, que dice : cualquier número impar mayor que 5 puede expresarse como la suma de tres números primos.  35 = 19 + 13 + 3 o 77 = 53 + 13 + 11
Esta conjetura podría llamarse la hermana pequeña de la conjetura mayor o fuerte del mismo autor..., que a su vez dice: todo número par mayor que 2 es la suma de dos primos.
La versión «fuerte» de esta conjetura, bautizada así también en honor a Goldbach  fue en realidad de Leonhard Euler:  todo número par mayor que 2 es suma de dos primos. La versión débil quedaría automáticamente demostrada en caso de validarse la fuerte: para escribir un número impar como suma de tres números primos, basta restarle un primo y luego aplicar la versión fuerte al numero par resultante.
La validez de ambas afirmaciones ha sido verificada por medios informáticos hasta donde se ha podido con los Pc actuales. A mayor número, más probable es que ambas conjeturas se cumplan… Por ahora, no se conocen excepciones.
Un bonito sudoku mental para las tardes aburridas de este caluroso verano de la mitad norte del mundo mundial... o las del invierno sureño.