Hola a todos,
Inicio este tema El INFINTO POTENCIAL y EL INFINITO ACTUAL en MATEMÁTICAS del cuál ya se ha hablado en el tema contiguo de Números Primos por la importancia que tiene al hablar de INFINITOS.
Si me permiten unos breves comentarios:
Desde Aristóteles hasta hace poco más de un siglo, la matemática había tenido cuidado de no admitir el infinito "completo" o "actual" dentro de su campo de acción, debido a las paradojas y contradicciones que planteaba, sin embargo, a finales del siglo diecinueve y principios del veinte, venciendo la resistencia de sus contemporáneos el matemático ruso Georg Cantor revolucionó las ideas que existían en torno al empleo del concepto del infinito “actual” en matemáticas a pesar de las advertencias de colegas tan prestigiados como el francés Henri Poincaré y el alemán Kronecker (maestro de Cantor) quien terminó lanzándole invectivas, fue tal la presión que ejercieron sobre él, que fue recluido en un hospital para enfermos mentales, del cual salía y entraba periódicamente.
Ya en 1831 Gauss había expresado su “horror al infinito real (actual)” protestando contra su empleo en matemáticas“como una cosa completa” y diciendo que el infinito es simplemente una “forma de hablar”.
Galileo por su parte señaló la existencia de algunas paradojas en caso de aceptar en matemáticas conjuntos infinitos completos pues el conjunto y sus subconjuntos serían en ese caso equivalentes (tendrían el mismo número de elementos), los números de ambos conjuntos podrían ponerse en parejas sacando cada vez un número de cada conjunto y poniéndolos en correspondencia biunívoca hasta el infinito, así pues el conjunto de números enteros y su subconjunto de números pares tendrían ambos una cantidad ilimitada de emparejamientos al ponerse en biyección hasta el infinito uno a uno (sin que ningún conjunto se agote y ningún número de ambos conjuntos se omita) con lo cuál ambos serían equivalentes.
Pero, ¿cómo puede ser equivalente el “todo” a la “parte”? Lo lógico es que el "todo" sea mayor que la "parte". Precisamente en esto reside la paradoja.
Joseph W. Dauben, autor de al menos catorce libros sobre matemáticas (Editados por Princeton University Press, Harvard University y New York Academy of Sciences entre otros) tres de los cuales tratan acerca de la vida y la teoría de Cantor, menciona en uno de sus artículos:
“Cantor tomó prestada la paradoja citada por Galileo y la convirtió en un procedimiento de comparación de tamaño de conjuntos infinitos: Cantor definió como equivalentes dos conjuntos cuando podía definirse entre los elementos de uno y otro conjuntos una correspondencia biunívoca. Una tal correspondencia proporciona un procedimiento natural de comparación de tamaños…
Aplicando el mismo principio de correspondencia, demostró que la propiedad que Galileo había considerado paradójica era, en realidad, una propiedad natural de los conjuntos infinitos. "
*http://ar.geocities.com/paginadeprueba2005/Cantor/georg_cantor_y_la_teoria_de_transfinitos.htm
Intentaré probar, sin embargo, que en realidad esto no es así. Cantor no logró verdaderamente eliminar las paradojas mencionadas y éstas en lugar de eliminarse se incrementan pudiéndose manipular el resultado a nuestro arbitrio si utilizamos el mismo método y el mismo principio de correspondencia adoptado por El.
Cantor escogió la combinación uno a uno (correspondencia biunívoca) poniendo en biyección a los elementos de ambos conjuntos al hacer los emparejamientos, sacando a la vez un elemento de cada conjunto para ir formando parejas hasta el infinito, no sabemos por qué razón eligió precisamente esa combinación uno a uno (propia de una función biyectiva), pero al elegir esa o cualquier otra (no biyectiva), el resultado de la medición de dichos conjuntos infinitos se establece de antemano de acuerdo a la combinación elegida. Es decir: la combinación de los "emparejamientos" o "agrupamientos", (incluída la que Cantor escogió) nos permite llegar arbitrariamente a las conclusiones que nosotros queramos de antemano, aunque sean antagónicas, lo cual pone en evidencia la invalidez del método de Cantor para medir conjuntos infinitos.
Dicho método sirve para medir conjuntos finitos, pues el resultado obtenido será uno solo independientemente de la combinación seleccionada de antemano, pero no sirve para medir conjuntos infinitos ya que como dijimos el resultado variará de acuerdo a la combinación previamente fijada, pudiendo predefinir arbitrariamente el resultado mediante el sencillo trámite de variar la combinación.
Para comprender mejor los errores de Georg Cantor, debemos tener presente la diferencia entre los conceptos de “Infinito actual” e “Infinito potencial”.
INFINITO ACTUALEs como una fotografía (se da en un solo instante en forma total y completa) y por lo tanto NO es un proceso que se vaya dando en el tiempo.
INFINITO POTENCIAL Es un proceso que "tiende al infinito". Se va dando en el tiempo.
"La noción de infinito potencial se centra en la operación reiterativa e ilimitada, es decir, en la recursividad interminable, por muy grande que sea un número natural, siempre podemos concebir uno mayor, y uno mayor que este y así sucesivamente donde esta última expresión ``así sucesivamente'' encierra la misma idea de reiteración ilimitada, al infinito."(Ortiz,1994)
Esta noción de infinito es la usada en las acepciones analizadas del DRAE (Diccionario de la Real Academia Española) y de hecho es la noción empleada en el desarrollo moderno del concepto de límite infinito y límite al infinito del cálculo infinitesimal."
http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/MundoMatematicas/infinito/node3.htmlGalileo, Gauss y Poincaré estaban a favor de la inclusión del infinito potencial en matemáticas y totalmente en contra del uso del infinito actual, por las paradojas o contradicciones que encierra.
Al tratar Cantor de demostrar que el infinito "actual" puede ser incluido en matemáticas, incurre en los errores que mencioné anteriormente.
El INFINITO ACTUAL ha sido utilizado en TEOLOGÍA y en FILOSOFÍA, pero no debe ser utilizado en MATEMÁTICAS (aunque actualmente lo utiliza la teoría de conjuntos transfinitos formalizada por G. Cantor, (pero sin que exista un consenso unánime).
Saludos
