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Foros CIENCIA => Matemáticas Clásicas => Mensaje iniciado por: deneb en agosto 11, 2015, 12:31:50 pm

Título: Numeros primos
Publicado por: deneb en agosto 11, 2015, 12:31:50 pm
Es una gozada inaugurar un espacio nuevo en un foro como éste, abierto a casi todo el saber humano( y parte del divino ). Y si algún campo del saber se acerca más a lo divino es el de la magia de los números, esos entes sin dimensiones, sin masa, cuerpo ni propiedades físicas, casi espíritus puros, identificados tan solo con unos rasgos inventados por no se sabe quién, cuándo ni dónde. Y de todo ellos, los más raros, peculiares y misteriosos, los números primos. Como siempre me han fascinado, me gustaría lanzar aquí este tema con algunos datos iniciales, algunos de mi cosecha y otros, sin duda, de otros proveedores...
Definamos Primo : es el número natural ( entero positivo)  que es divisible tan solo por sí mismo o la unidad, o, resumiendo, que no tiene otros divisores. ¿ Hay muchos ó pocos ó cuántos hay ?
1.- Se sabe que hay infinitos ( es fácil encontrar ese teorema o repasarlo ).
2.- ¿ Son todos una familia o hay grupos diferenciados ?  Eliminemos antes a los no candidatos claros, para simplificarnos la búsqueda. No hay que temer los resultados, los primos se han mostrado siempre inescrutables, y lo seguirán siendo, pero es divertido intentar descubrir algunos de sus secretos, que tal vez podamos entrever un poco más adelante...
Empecemos eliminando los no primos más numerosos, los múltiplos de 2 y de 3 ( de paso también quedan excluidos los múltiplos de 4 y de 6 ). Los que nos quedan son curiosamente los múltiplos de 6 +1  y los múltiplos de 6 -1, por ejemplo 6*5+1=31 y 6*5-1=29 ( suerte, dos primos).
A estos dos grupos de números los podemos llamar de Primos Genéricos (PG) porque de ellos saldrán todos los primos, aunque muchos no so sean, p.e. 6*4+1=25 ó 6*6-1=35.
O sea que hay como dos poblaciones de PG, una los formados por 6*k +1 ( para todo k entero), y otra los 6*k -1 ( para todo k entero ). Podemos llamarlos PG+1 y PG-1.
La estructura de esas poblaciones o grupos vendrá definida por las operaciones que podamos aplicar sobre ellos y sus propiedades consecuentes ...
¿ Intentamos la suma y el producto, a ver qué ocurre ?

Título: Re:Numeros primos
Publicado por: cefas en agosto 21, 2015, 11:27:20 am
Estimado Deneb: Voy a opinar sobre la operación suma, que es la más fácil.
La suma de dos números PG  es siempre un número par, porque como ambos son impares... su suma es par. Luego la operación suma entre PGs  es una operación externa, pues siempre produce un resultado externo a ambos conjuntos o a cada uno de ellos, nunca un PG : Ejemplo
Sumas de dos PG+1 :  7 + 13 =20     13 +37 =50
                      PG-1:   5 + 11 =16     35 + 59 = 94
                     PG+1 + PG-1:  5 + 13 =18
Siempre se obtiene un número par.
Lo mismo ocurre con la suma algebraica, que incluye lo que llamamos resta . Demostrémoslo:
Como un PG+1 es una expresión del tipo M6( múltiplo de 6)+1
y un       PG-1                                       M6-1
La suma algebraica entre ellos produce M6+0   ó  M6+2  ó  M6-2   que siempre son pares.
                                            *******************
Quedan el producto, la potencia, la raíz nª...
Saludos

Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en agosto 23, 2015, 02:39:35 pm
Vamos, casi por pura diversión,  a por la operación producto y veamos si sale algo aprovechable, que este tipo de números suelen ser puros huesos, duros de roer ...
Recordemos:
1.- Que hay infinitos números primos ( existen varias demostraciones, Euler, Euclides...)
2.- Todo número candidato a primo (PG)  es de la forma 6k+1 ( 7) ó bien 6k-1 (5) .
3.- Separemos la lista de posibles primos en los dos tipos o series.
Tomemos una de ellas, por ejemplo los PG+1, o sea los 6k+1. Ej: 6x1+1, 6x2+1,  6x3+1, 6x4+1, 6x5+1.... 7,13,19,25,31..
Hagamos el producto  ( 6k+1) *( 6j+1) =36kj+6k+6j+1= 6m+1 , 7x13=91, o sea otro PG+1 *
Ahora , formemos en la otra serie el producto con dos PG-1, como los 5,11,17,23, etc
Hagamos el producto  (6k-1) * ( 6j-1) =5 x 11= 55 =6x9+1 =6n +1, o sea  del grupo PG+1 **
Y ahora el producto mixto con un factor de cada serie, ( 6k+1)* (6j-1) = 7x5=35=6x6-1 = 6p -1 ,   o sea siempre resulta del tipo, serie o grupo PG-1  ***
O sea, que cada producto posible entre los PG de cada grupo  produce un nuevo PG de uno u otro grupo según indicamos, y el producto mixto entre ambos grupos nos da otros PG, pero siempre del tipo -1. A estos productos les llamaremos Falsos primos ( FP) pues eran primos genéricos (PG) pero se ve que son números compuestos y por ello no primos .
Llamamos ahora FP ( falso primo ) a cualquier número PG que sea producto de otros dos PG ( ya no será primo ). Con esto, la lista de los PG se compone de los verdaderos primos más los que no lo son (FP) , y distribuidos en sus dos categorías o tipos, los 6k+1 y los 6j-1.
Los FP tienen al menos dos factores primos ( por eso son FP); veamos ejemplos:
*  FP 91 = 7 x 13         +1 , +1, +1
** FP 77 = 7 x 11         -1 , +1, -1
*** FP 55 = 5 x 11       +1,  -1, -1 
Visto esto, y que la operación producto destruye la primalidad de muchos PG llevándolos al cajón de los falsos primos(FP)  mediante las tres formas de operación descritas, podemos preguntarnos si prevalecen unos u otros, o sea ¿ Habrá más FP de tipo +1 ó de tipo -1 ? ó, lo que es equivalente ¿ hay más VP de tipo+1 ó de tipo -1 , y/ó los mismos... infinitos de ambos?. Dicho de otro modo, si comparamos las series de VP de ambos tipos hasta un número suficientemente grande,
VP-1 --> 5,  11, 17,  23,  29,     ,  41,  etc
VP+1--> 7,  13, 19,     ,  31,  37,  43,  etc
¿ Hay más componentes de uno u otro tipo o los mismos en ambas series ?
Recuerdo al lector que amablemente lee esto que el tema de los primos está sin resolver por completo y todo esto es sencillamente un esfuerzo por penetrar un poco en el misterio de ese tipo de números que siempre se han escapado de la comprensión completa. Y es que un número primo tiene un cierto parecido con un elemento químico, y parece un ladrillo elemental del mundo de los números, tan elemental que no es posible descomponerlo en factores distintos de 1 y de sí mismo.
La presentación de los números primos como múltiplos de seis más menos uno es solo un artificio para jugar con su estructura y establecer algunas propiedades cuando menos curiosas.

Título: Re:Numeros primos
Publicado por: Fegapa en agosto 24, 2015, 01:07:22 pm

Recordemos:
1.- Que hay infinitos números primos ( existen varias demostraciones, Euler, Euclides...)

Hola deneb

Solo quiero confirmar si estás de acuerdo en que, al mencionar Euler y Euclides  que "hay infinitos números primos", se referían a un "infinito potencial"... y no a un "infinito actual" [este último fue aceptado en matemáticas por Georg Cantor que nació en el siglo XIX  (1845)]... Euler y Euclides son anteriores a Cantor...] pero, ¿tú que opinas?

Saludos

 
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en agosto 24, 2015, 02:33:37 pm
Fegapa: ¿ Qué diferencia hay entre infinito potencial y actual ? Supongo que tanto uno como otro estaban pensando en que el número de primos es interminable y a eso le llamarían infinito... ¿no?
Un saludo
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: Fegapa en agosto 24, 2015, 02:48:33 pm
Hola deneb

La diferencia entre los conceptos de “Infinito actual”  e “Infinito potencial” es la siguiente:

El primero es como una fotografía (se da en un solo instante en forma total y completa), mientras que el segundo es un proceso que se va dando en el tiempo.

Observa la siguiente cita de la "Revista Digital Matemática, Educación e Internet. José Rosales O./ Pedro Díaz N.":

"Aristóteles rechazó la idea del infinito dada las contradicciones que generaba. Sin embargo, lo concibió de dos formas diferentes las cuales son las nociones que tenemos actualmente de este concepto. Él concibió dos tipos de infinito: el infinito potencial y el infinito actual. ``La noción de infinito potencial se centra en la operación reiterativa e ilimitada, es decir, en la recursividad interminable, por muy grande que sea un número natural, siempre podemos concebir uno mayor, y uno mayor que este y así sucesivamente donde esta última expresión ``así sucesivamente'' encierra la misma idea de reiteración ilimitada, al infinito.(Ortiz,1994). "Esta noción de infinito es la usada en las acepciones analizadas del DRAE y de hecho es la noción empleada en el desarrollo moderno del concepto de límite infinito y límite al infinito del cálculo infinitesimal."

Después ésta revista nos dice que:

"... el infinito actual se refiere a un infinito existente como un todo o unidad y no como un proceso"... "Aristoteles rechazaba el infinito actual por ser imposible de ser alcanzado por la experiencia".

*Fuente de la cita:
Revista Digital Matemática, Educación e Internet. José Rosales O./ Pedro Díaz N.
http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/MundoMatematicas/infinito/node3.html

Galileo, Gauss y Poincaré estaban a favor de la inclusión del infinito potencial en matemáticas y totalmente en contra del uso del infinito actual, por las paradojas o contradicciones que encierra.

Al tratar Cantor de  demostrar que el infinito "actual" puede ser incluido en matemáticas, incurre en contradicciones, que nos hacen dudar de los números transfinitos de Cantor como un buen modelo matemático de nuestra realidad  espacio-temporal.

Saludos
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: cefas en septiembre 28, 2015, 05:29:16 pm
Hola Deneb. Según mis cábalas, más que cálculos, debe haber más primos del tipo -1 que del tipo +1. Parodiando a Fermat, tengo la demostración creo que acabada, pero no cabe en el espacio de un post normalito de los escritos a las 0.22h españolas. Lo malo de los primos es que viven en una especie de espacio con agujeros, por los que pueden colarse en cualquier momento dejándote en la duda de si lo que afirmas de uno se puede extender al siguiente. Voy a repasarlo y veré si lo puedo publicar aquí los próximos días. Ya me dirás si he acertado o si tienes otra mejor. Saludos.
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: cefas en octubre 24, 2015, 11:03:53 am
Hola Fegapa. Solo decirte que estoy de acuerdo en la división entre infinito actual y potencial. Dado que nuestra mente no es capaz de manejarse con infinitos actuales, aunque sí definirlos  y descubrir ciertas relaciones entre ellos y algunas propiedades básicas, lo cierto es que , a semejanza de lo que les ocurre a nuestros procesadores, tenemos un límite computacional que nos impide llegar al infinito. Tal vez sea una limitación  intrínseca al problema mismo e independiente del calculista. Una memoria capaz de manejar infinitos actuales debería contener infinitos bits y por ello necesitar infinito volumen, peso y coste. Eso implica que no deben existir en el mundo material o universo conocido. En el mundo conceptual, matemático o teórico, no necesitamos elementos físicos que ocupen volumen, espacio, memoria o inversiones y ahí pueden tener cabida. Con todo, no deja de ser un tema apasionante, eso de intentar manejar infinitos y encontrar sus disparatadas propiedades, tan ajenas a nuestra experiencia ordinaria.
 
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en noviembre 02, 2015, 10:28:57 am
¿Por qué hay más vp ( verdaderos primos) de un tipo que del otro, o sea , más 6k-1, como el 5, 11,59... que del tipo 6k+1, como 7,13,61,121...?
¿O sea, que los primos, siendo infinitos y aparentemente de la misma especie, son o pueden ser vistos como de dos semiespecies, una de ellas más poblada que la otra ?
¿ Y muy pocos más o muchos o infinitos  más?
Para empezar, calcule los primos de ambos tipos hasta por ejemplo 169.
Seguramente, ya hay una pequeña diferencia...
Para llegar al por qué del comienzo necesitamos más espacio y tiempo, con permiso de cefas.
Saludos.
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: Fegapa en noviembre 04, 2015, 11:41:16 am
Hola Fegapa. Solo decirte que estoy de acuerdo en la división entre infinito actual y potencial. Dado que nuestra mente no es capaz de manejarse con infinitos actuales, aunque sí definirlos  y descubrir ciertas relaciones entre ellos y algunas propiedades básicas, lo cierto es que , a semejanza de lo que les ocurre a nuestros procesadores, tenemos un límite computacional que nos impide llegar al infinito. Tal vez sea una limitación  intrínseca al problema mismo e independiente del calculista. Una memoria capaz de manejar infinitos actuales debería contener infinitos bits y por ello necesitar infinito volumen, peso y coste. Eso implica que no deben existir en el mundo material o universo conocido. En el mundo conceptual, matemático o teórico, no necesitamos elementos físicos que ocupen volumen, espacio, memoria o inversiones y ahí pueden tener cabida. Con todo, no deja de ser un tema apasionante, eso de intentar manejar infinitos y encontrar sus disparatadas propiedades, tan ajenas a nuestra experiencia ordinaria.

Hola Cefas,

En otro foro presenté un tema que titulé: "Errores de Georg Cantor en la elaboración de la teoría de conjuntos transfinitos" en el cual pretendí demostrar que dicha teoría es absurda y responder a quien defendía la teoría mencionada.

Aquí te paso un pequeño texto  de algo que escribí allí, aunque, por lo que mencionas, creo que tú y yo estamos de acuerdo en  que si intentamos manejar infinitos actuales, encontraremos sin duda sus "disparatadas propiedades, tan ajenas a nuestra experiencia ordinaria", como bien dices.

El texto de referencia es el siguiente:

Según la teoría de conjuntos transfinitos de Cantor,  un conjunto es  infinito (en cardinalidad) si es equipotente con uno de sus  subconjuntos, así que si lo que menciona Cantor es cierto, entonces puede decirse que, con respecto al conjunto infinito de números naturales, la cardinalidad de sus subconjuntos de  pares + nones reunidos es equipotente a la de por lo menos uno de dichos subconjuntos tomados individualmente (el todo = a la parte), lo cual podría expresarse en términos más sencillos diciendo que, según la teoría matemática de conjuntos transfinitos, hablando de  cardinalidad de conjuntos:   pares + nones = pares (aunque ambos conjuntos tengan una cardinalidad mayor que cero), lo cual en nuestra realidad  es totalmente contradictorio, pues para ella el signo + significa adición o incremento y la fórmula pares + nones = pares, que también se puede expresar así: A+B=A (aunque tanto A como B sean >0) quiere decir que existe una adición y al mismo tiempo y en el mismo sentido significa que no existe ésta. Contradicción diáfana.

Las matemáticas como cualquier otra ciencia no pueden ser absurdas, ninguna de ellas puede pretender volverse inmune a las contradicciones internas sin anular su cimiento racional. En nuestra realidad los cardinales de cualquier conjunto  solo pueden ser infinitos potenciales, no actuales  y por lo tanto ninguna teoría matemática que pretenda ser un buen modelo de nuestra realidad debe incluir el concepto de infinito actual en sus planteamientos por las contradicciones que encierra, ni mucho menos incluir conjuntos (infinitos actuales) que tienen una cardinalidad equivalente a la de alguno de sus sub conjuntos propios como menciona Cantor.


Por lo tanto, mi querido Cefas, tal vez me puedas ilustrar: Si nuestra realidad no es absurda ¿Qué sentido tiene intentar manejarse con infinitos actuales, si al definirlos y al tratar de encontrar ciertas relaciones y propiedades básicas entre ellos descubrimos que se basan en un absurdo?... Tal vez esté yo equivocado, pero si sus propiedades son "disparatadas" como tú mismo afirmas, y las matemáticas pretenden descubrir modelos útiles para comprender cómo funciona el cosmos, creo que estaremos de acuerdo en que no es posible que una teoría contradictoria pueda llegar a ser un buen modelo matemático de nuestra realidad ¿no es así? 

Un cordial saludo


Título: Re:Numeros primos
Publicado por: Fegapa en noviembre 04, 2015, 12:16:37 pm
Cefas, solo para complementar un poco lo mencionado por mi en el mensaje anterior y ver si estamos de acuerdo, te copio aquí otro texto, escrito por mí en el foro al que hice referencia en dicho mensaje:

Cuando las matemáticas llegan a conclusiones que contradicen la lógica y por lo tanto al principio de no contradicción en que ésta se fundamenta ¿como pueden lograr coherencia interna?... ¿Son las matemáticas coherentes y la realidad incoherente?... Si las matemáticas no tuvieran punto de contacto con la realidad (pues aquellas son coherentes y ésta incoherente) y así mismo el cosmos no estuviera "escrito en lenguaje matemático" como afirmaba Galileo, no nos servirían para conocerlo abstrayendo sus relaciones espaciales y cuantitativas, ni para lograr aplicaciones, particularmente en la física y en otras ciencias.  ¿Para que servirían entonces? ¿Como pasatiempo para evitar el Alzheimer?

Creo que si la realidad fuera absurda sería racionalmente incomprensible. Sin embargo no es absurda, pues es comprensible (aunque la ciencia de finales del segundo y principios del tercer milenio necesita avanzar para comprender fenómenos que parecen contradictorios), sin embargo si la realidad fuera absurda, la ciencia no existiría y la vida tampoco.

Estimo que precisamente ahí donde las matemáticas contradicen la lógica (y por lo tanto la razón), dejan de ser útiles para conocer y obtener provecho de un cosmos que no habría podido desarrollar vida e inteligencia si no funcionara coherente y racionalmente.

Si alguien no estuviera de acuerdo en lo dicho, le preguntaría: ¿de que sirve a las matemáticas ser coherentes con una serie de axiomas, cuando dicha coherencia a veces las lleva a conclusiones que rompen con la  lógica y por ello, con el principio de no contradicción y que en dichas ocasiones las desconecta de la misma realidad cósmica en que se genera la inteligencia de donde surgen?

Si las matemáticas contradijeran la lógica se volverían una ciencia incoherente e incomprensible.
Referiéndonos a la cardinalidad de los Conjuntos Infinitos Actuales, (CIAs) de números naturales si:  A=B  y c/u de ellos > 0  No entiendo como puede ser  A+B=A    ¿Alguno podría explicarlo sin incurrir en contradicción?

Saludos
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en noviembre 06, 2015, 11:41:06 am
No se si iré acertado, amigo Fegapa, pero cuando manejamos ese A+B=A de tus ejemplos, estamos estableciendo una relación entre el conjunto  A ( pares) y el conjunto ( A+B ) , o sea ( pares AND nones ), donde el signo + no es la suma aritmética o la suma algebraica sino la suma lógica, el AND de Boole, que equivale a reunir o a veces dar continuidad a varias condiciones sucesivas o simultáneas .
Así salvamos la contradicción y podemos seguir relacionando ambos conjuntos, operando así:
Coloco a un lado el conjunto A de los pares,
Coloco al otro lado el conjunto de todos los números naturales, pares e ( AND) impares, A and B
A cada número par de A le asigno su ordinal del conjunto global
el 2 es el par nº 1
el 4 es el par nº 2
el 6 es el par nº 3
...
...
no manejaremos infinitos actuales, más que nada para no aburrir al lector  :) pero observamos que no hay ningún problema en seguir hasta ese infinito asequible que es el que manejamos los humanos finitos...
Como no nos faltarán elementos de ninguno de ambos conjuntos para seguir, y si llegamos al final ( llegásemos) habríamos utilizado todos los de uno y otro lado , los llamamos equipotentes, que es palabra muy adecuada cuando no sabemos del todo de qué estamos hablando, como es mi caso....
Y es que deberíamos aceptar un postulado inicial para los infinitos actuales , colocándolos en el grupo de los números imaginarios, desconectados de la realidad .
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en noviembre 06, 2015, 01:34:01 pm
Sigamos con los primos.
Loque sigue podría llamarse  Teorema de la distribución de los números primos
1.- Todo número PG ( primo genérico ) de tipo 6k+1 ó 6k-1 es candidato a primo, o sea que todo primo es de uno de los dos tipos, por ejemplo el 37= 6*6+1  y el  59= 6*10-1 y son dos verdaderos primos VP, y se quedan en solo candidatos o falsos primos FP otros como el 35=6*6-1 o el 91= 6*15+1.
El conjunto FP and VP  forman el conjunto de lo que llamamos primos genéricos PG
                                             PG = VP and FP
2.- Todo FP tiene como factores, al menos , a dos PG. Ejemplos: 35=5*7 ,  91= 7*13 , 25=5*5 , 125 =5*5*5 , 385=5*7*11,...
Recordemos que al crear el grupo de los PG hemos eliminado los factores 2 y 3 y sus múltiplos.

3.- Formemos el conjunto de los PG separando en dos filas los de cada tipo +1 y -1

+1              7        13     19     25*      31       37        43      49*      55*        61
 -1           5        11      17    23      29       35*       41        47      53       59

   marcamos con * los falsos primos FP. Los demás son VP, verdaderos primos.
Observamos cómo se mezclan primos VP con falsos primos FP y cómo éstos siempre proceden del producto de algunos VP situados a su izquierda...

Colocamos ahora el factor K por el que se multiplica a 6 en cada caso, de modo que podamos localizar a cada número por este k y su tipo. Así, si un numero PG tiene k=8 y tipo -1 será
                                           6*8-1=47
y el número 49  tiene ese mismo K pero tipo +1 ,

valores de k           1               2              3                4                5                  6                7
tipo +1                    7               13            19               25              31               37               43
tipo -1                  5              11             17             23               29               35              41

y ahora nos formulamos la pregunta clave de este tema ¿ Hay el mismo número de verdaderos primos de cada tipo o hay más de uno que de otro?

El sentido común nos dice que debería haber el mismo número de cada tipo, existir una simetría , ya que no parece haber ningún motivo para diferenciar unos de otros... pero tal vez la operación producto que liga los FP con los VP   35FP = 5 VP * 7 VP  y que 5 y 7 sean del mismo o diferente tipo tengan influencia en la respuesta.
Para responder a esta cuestión, tomemos k=1 y k=2, los 4 primeros números PG, y formemos un conjunto que llamaremos A con  {       7    13
                                                   5     11         }
y veamos qué efecto producen estos cuatro al combinarse entre sí para producir falsos primos y machacar las posibilidades de otros números potencialmente primos. Vemos inmediatamente que el 35 será FP pues es el producto 5*7, el 169 es el producto 13*13 ... y así, estos cuatro PG van a causar una serie de falsos primos en las series de la lista...
los falsos primos se originan por:
a.- el producto interno entre la serie de los +1, 7 y 13                      7*13=91
b.-    ídem                                               -1,    5 y 11                     5*11=55
c.-el producto mixto de los de una serie por los de la otra , 5*7, 5*13, 11*7,11*13
d.-los valores de los cuadrados de todos ellos   5*5, 7*7,  11*11, 13*13

los productos de a , serán del tipo +1,  aquí solo hay uno, el 7*13=91
                         b ,                      +1 ( comprobar)             5*11=55 = 6*9+1 
                         c ,                       -1        "                        5*13=65  = 6*11-1
                         d,                        +1       "                        11*11=121 =6*20+1
¿ Cuántos se producen a partir de esos cuatro, calculando tomando a k como variable , aquí k=2 ?

de a:  combinaciones de 2 tomadas de 2 en 2....= K ( k-1)/2 
de b:  igual que a                                 sumando a + b,       a+b=k2-k
de c: k*k= k2
de d: uno para cada valor = 2k
 en total tenemos un conjunto de nuevos valores, todos de las listas de PG anteriores, que no pertenecen al grupo A y que quedan excluidos , machacados , de entre posibles VP.
son , entre otros los valores 91,55,35,77,85,143,25,49 y otros dos cuadrados más... total, 10
Observemos que el mayor valor que es excluido por este grupo de cuatro , el grupo A, es el 13 *13=169, a partir del cual la influencia de estos cuatro se puede traspasar a otros  valores fuera de A.
Si sumamos S=a+b+c+d =( k2-k)+k2+2k=3k2 -k , para k=2, S=10
El mayor valor de la lista de PGs afectado es, en este sistema, el cuadrado del 6k+1 , el mayor del grupo A , en este caso, el 169. Llamaremos grupo B al formado por el conjunto de valores afectados por el A y que no pertenecen a A, o sea, desde el 17 al 169

En resumen, sabemos que el grupo A ha desbaratado las opciones de ser primos a 10 elementos entre 17 y 169 .
los producidos en la operación c son del tipo -1 y los del resto, a,b,d del tipo +1. Claramente se observa que los del tipo +1 son más que los del tipo -1:
 al tipo +1, S1= a+b+d = k2-k+2k=k2+k   , en nuestro caso , para k=2, S1=6
 al tipo -1 ,  S2=c = k2,                                                                 k=2, S2=4
Diferencia a favor del S1,  D=k2+k-k2 =k     , en este ejemplo, 2
o sea, entre los excluidos o machacados hay 6  de tipo +1 y 4 del tipo -1
Por tanto, y cualquiera que sea K, se verifica que

          El número de primos de tipo -1 es mayor que el del tipo +1     

Si tomamos un grupo de origen A con K infinitamente grande, la diferencia entre el número de primos de uno y otro tipo en el grupo B producidos por los elementos de A será K, del tamaño que se desee , según sea K.
Nótese que en los grupo B existen otros falsos primos no contemplados aquí, además de los calculados, y producidos por  factores que no pertenezcan ambos a A.
 Ejemplo: el producto 5 ( de A) * 19 ( del B) = 95, es un valor Fp del grupo B fuera de nuestro cálculo, o el producto 7*17=119, y otros.
 Ahora bien, estos casos y los anteriores, proceden todos del tipo de operaciones consideradas, de modo que en el cómputo total, las exclusiones se producirán según esos resultados y presentarán siempre una diferencia a favor de los demostrados.
En cálculos realizados por ordenador, las series de valores nos han presentado siempre diferencias sensibles entre los VP+1 y los VP-1.
Según esto, podemos afirmar que hay infinitos valores VP-1 más que los VP+1.

 
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: Fegapa en noviembre 06, 2015, 10:21:37 pm
No se si iré acertado, amigo Fegapa, pero cuando manejamos ese A+B=A de tus ejemplos, estamos estableciendo una relación entre el conjunto  A ( pares) y el conjunto ( A+B ) , o sea ( pares AND nones ), donde el signo + no es la suma aritmética o la suma algebraica sino la suma lógica, el AND de Boole, que equivale a reunir o a veces dar continuidad a varias condiciones sucesivas o simultáneas .
Así salvamos la contradicción y podemos seguir relacionando ambos conjuntos, operando así:
Coloco a un lado el conjunto A de los pares,
Coloco al otro lado el conjunto de todos los números naturales, pares e ( AND) impares, A and B
A cada número par de A le asigno su ordinal del conjunto global
el 2 es el par nº 1
el 4 es el par nº 2
el 6 es el par nº 3 ...
no manejaremos infinitos actuales, más que nada para no aburrir al lector  :) pero observamos que no hay ningún problema en seguir hasta ese infinito asequible que es el que manejamos los humanos finitos...
Como no nos faltarán elementos de ninguno de ambos conjuntos para seguir, y si llegamos al final ( llegásemos) habríamos utilizado todos los de uno y otro lado , los llamamos equipotentes, que es palabra muy adecuada cuando no sabemos del todo de qué estamos hablando, como es mi caso....
Y es que deberíamos aceptar un postulado inicial para los infinitos actuales , colocándolos en el grupo de los números imaginarios, desconectados de la realidad .

Hola mi estimado deneb,

Si no manejas "infinitos actuales" (como afirmas), no tienes ningún problema, se puede hacer perfectamente lo que dices cuando señalas: "Coloco al otro lado el conjunto de todos los números naturales, pares e ( AND) impares, A and B
A cada número par de A le asigno su ordinal del conjunto global..."
. Las contradicciones se presentan solo si pretendes incluir como un modelo matemático de nuestra realidad finita espacio-temporal al infinito actual (completo o finalizado).

Sin embargo, me gustaría que me aclararas una duda:

Según el DRAE Infinito significa  Del lat. infinītus.
"1. adj. Que no tiene ni puede tener fin ni término."

Ahora bien, efectivamente mencionas: "no manejaremos infinitos actuales" , no obstante después afirmas: "Como no nos faltarán elementos de ninguno de ambos conjuntos para seguir, y si llegamos al final (llegásemos) habríamos utilizado todos los de uno y otro lado..."

Discúlpame pero mi duda es ésta:

¿Qué significa para ti llegar al final de un conjunto infinito?...   ¿ Cómo puedes llegar al final de un conjunto que al ser infinito no puede tener final (o término)?

Si pudieras llegar en acto, es decir en forma actual, al final de un conjunto infinito, únicamente podrías llegar a una contradicción, ¿no crees? ... por esta razón, los infinitos actuales (o completos) utilizados en matemáticas por Georg Cantor, son contradictorios y de acuerdo con otros matemáticos como, Gauss no pueden ser empleados en matemáticas... ¿No opinas igual?

Por ello creo que tienes razón al decir: "Y es que deberíamos aceptar un postulado inicial para los infinitos actuales , colocándolos en el grupo de los números imaginarios, desconectados de la realidad." ... sobre todo considerando que, en forma diametralmente opuesta al concepto de "infinito actual", la realidad no es absurda... el único infinito que se puede incluir en matemáticas es el Infinito Potencial (IP), no así el Actual.

Saludos


Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en noviembre 07, 2015, 04:49:40 am
Creo que esta vez me he salvado, estimado Fegapa, siempre tan exacto ... observa que añado entre paréntesis el término llegásemos , pretérito imperfecto de subjuntivo, que expresa deseo o al menos intención , como ( si yo fuese emperador o si me tocara la lotería les daría el 50% a los pobres ).
Además, al emplear el condicional si..., vuelvo a salvarme, pues eso solo ocurriría si llegáramos o llegásemos, con lo cual quedamos completamente de acuerdo en lo de la desconexión.
Y con eso el postulado se convierte en otra cosa.
Un saludo
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: Fegapa en noviembre 07, 2015, 09:22:07 am
Hola mi estimado deneb,

Creo que tienes razón, estamos de acuerdo en lo de la desconexión del infinito actual al aceptar un postulado inicial para los infinitos actuales "colocándolos en el grupo de los números imaginarios, desconectados de la realidad", creo que aceptas que la realidad no es absurda o contradictoria, sino plenamente coherente con los principios del pensamiento racional, aunque a veces pudiéramos expresar ideas, pensamientos o "intenciones" que, al ser contrarias a dichos principios se desconectan de ella (de la realidad racional).

Y por otro lado, sobre la palabra "Infinito"  al referirme al "Infinito Potencial"  (al igual que sucede con el "Infinito Actual"), quiero aclarar que estoy de acuerdo con Gauss en que <llamarle "infinito" es solo una forma de hablar>.

Como el término "potencial" implica posibilidad, por lo tanto el infinito (sin fin ni término)  no puede ser matemáticamente considerado potencialmente como algo completo, finalizado o actualizado... Si intentáramos llegar a completarlo, finalizarlo o actualizarlo, estaríamos intentando algo totalmente irracional. Sobre esto creo que también estamos de acuerdo ¿es así?

Petrusdoa decía algo en otro hilo que me pareció genial, aquí lo copio, con su permiso:

"Cuando definimos el infinito potencial ( IP) como el límite al que tiende una expresión cualquiera, nos referimos siempre a una cantidad inimaginablemente grande, pero siempre permanecemos, lo queramos o no, a este lado de la realidad. Manejando conjuntos finitos. En cualquier momento de nuestro cálculo de límites, la distancia entre nuestro conjunto que "tiende a" y el infinito actual ( IA) sigue siendo infinita, porque para que dicho conjunto alcance el infinito, debería pasar infinito tiempo creciendo... Es como afirmar que la diferencia entre un infinito actual y uno potencial es un infinito actual.
Luego el infinito definido como límite, en mi opinión es solo, en el fondo,  un finito con ambiciones..."


De verdad me parece genial como él lo expresa y como para los que estamos "de este lado de la realidad" el infinito actual está desconectado de ella debido a las contradicciones que encierra, solo podemos utilizar en matemáticas el pretencioso "infinito potencial", que, como dice Petrusdoa, no es sino "un finito con ambiciones". Gracias por tu chispa y tu claridad Petrusdoa.

Saludos


Título: Re:Numeros primos
Publicado por: cefas en noviembre 07, 2015, 11:46:47 am
Hola Deneb: continuando con el #12 sobre primos... y sobre la operación producto.
Yo creo que los primos en sí mismos y en principio parece que no deben tener simetrías internas ni cualidades que permitan diferenciarlos en dos categorías, como lo haces al separarlos en dos tipos, los 6k+1 y los 6k-1. No obstante, el hecho es que en su propia definición incorporamos la operación producto o factorización, con lo cual las características y leyes que asignamos a  este tipo de operación cubren los conjuntos de elementos en los que operamos con ella. Así, y solo desde ese punto de vista en mi opinión , los primos, los falsos primos y los primos genéricos en general , como lo son si tienen o no factores distintos de uno, incorporan en su definición al menos algunas de las leyes internas del producto.
Además, en los PG ocurre que tienen la curiosa propiedad, si se descubre, de agruparse a  ambos lados de los múltiplos de 6, con lo cual permiten estudiarlos desde esa disposición ordenada...
Como aspecto curioso que quisiera añadir a los de la operación producto de tu #12 , te señalo algo que puede resultar de interés: si asociamos a cada factor una dimensión física, x,y,z, resulta que el producto resultante se puede asociar a un entidad del mismo número dimensional que factores la forman: así, por ejemplo, si multiplico dos longitudes-factores, el producto es una superficie ( bidimensional); si multiplico tres factores, el producto es un volumen tridimensional, si cuatro, un hipervolumen 4D, etc etc. Una especie de espacio vectorial de segunda clase...
Visto así, los FP son superficies 2D y los VP también pero con un lado unitario.
En cuanto al factor -1 y su función en el producto, también habría mucho que analizar, porque los números negativos, y el unitario -1 en particular tienen asignados poderes especiales... Y como los PG , todos , llevan un +1 ó un -1, este elemento influye decisivamente en su clasificación. En definitiva, este -1 final, creo que es el responsable de la validez o no validez de tu clasificación, pues si no existiera, no habría forma de separarlos en tus dos conjuntos distintos, me parece.
Saludos
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en noviembre 12, 2015, 12:51:06 pm
Hasta ahora, hemos trabajado con un conjunto de PGs entre j=1 y j=n , con n=2, cuyos valores , al combinarse como factores de todos los modos posibles producen nuevos PGs no primos en el grupo o conjunto de PGs afectado que va desde el de j=n+1 (j=3, 17) hasta el de  j=6n2+2n (j=28 169), conjunto al que llamamos grupo B. En este conjunto B  hay muchos espacios intermedios en los que localizar valores PGs, dos para cada valor de j, en este ejemplo en que n=2 tenemos que el grupo B tiene  desde j=28 ( el de PG=169) hasta el j=3 ( el del número PG=17).
Por lo tanto, el grupo B afectado tiene los valores j 3,4,5...28, o sea 28-3+1=26 lugares j donde se ubican los 2*26=52 Pgs potencialmente primos, de los cuales hay 26 de cada clase, +1 y -1, de los que el grupo A ha convertido en FP o falsos primos por ser ya compuestos a un total de 2n2+2=10 FP. Por lo tanto, de los 52 candidatos, debemos eliminar los 10 que sabemos que son falsos primos FP ( producidos por los productos entre 5 7 11 13 del grupo A ya vistos ), y de ellos, 4 serán del tipo +1 y 6 del grupo -1...
Eliminados estos diez, quedan 52-10=42 opciones para ser primo.... pero no hemos considerado otra clase de FP generada en el interior del conjunto A+B. En efecto, en el conjunto ahora considerado quedan aun opciones de productos internos que afectan a numeros del conjunto A+B, entre 5 y 169. Veamos un ejemplo: 5x17=85 <169  5x19=95<169 y unos cuantos más. En resumen todos los productos internos ( sin cuadrados, obviamente) cuyo resultado sea <169. Si el número de éstos fuera 42, todos los valores serían FP. En tal caso habríamos demostrado que no existen VP... pues todos estarían afectados por los productos, cualquiera que fuera n. Luego, siendo infinito el número de VP, quedaría probado que, dado un grupo de PGs , sus productos internos dejan siempre espacios j vacíos, en uno o dos espacios +1 y/ó -1  donde anidan nuevos VPs.
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: cefas en noviembre 13, 2015, 02:03:40 am
Estimado Deneb. Veo que sigues trabajando el asunto de los números primos con ahinco . No obstante, observo que el conjunto que llamas A es bastante peculiar, supongo que a propósito, porque sus elementos , todos primos, se mantienen al margen de la operación... sin embargo, si el conjunto A se amplía, por ejemplo hasta el 49, contendrá elementos como el 25,35 que sí se encontrarán entre los afectados por operaciones internas... con lo que la situación de cálculo variará ligeramente.
Saludos
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en noviembre 13, 2015, 04:33:23 am
En efecto, Cefas, el caso presentado, con j=2, es muy favorable para el cálculo, lo mismo que si j=3, porque todos sus elementos son verdaderos primos. De ahí en adelante, la cosa se complica porque aparecerán elementos que ya son compuestos, o sea, lo que llamo Falsos Primos ( FP) , como el primero de todos, el 25, 6x4+1=5x5 ...
Acabo de calcular el % de VP en conjuntos de PGs desde j=1 ( desde el 5) hasta un valor de j dado, y los resultados son s.e.

hasta j=...             NVP    nº de VP desde 5           HU= nº de  PG total           %
                2                               4                                     4                        100
                3                                6                                     6                       100
                10                            16                                   20                        80
                20                            28                                   40                        70
              100                            108                                 200                       54
              200                            195                                 400                       48
             1000                           781                                2000                    39
            2000                          1436                               4000                     36%
 Como vemos, a medida que nos adentramos en el campo de los números naturales, el porcentaje de N primos va disminuyendo, puesto que cada vez hay más PG anteriores cuyos productos convierten en Falsos primos a los candidatos 6j+1 y 6j-1 más grandes del conjunto.
Invito a quien posea un PC con potencia de cálculo a que calcule el porcentaje de primos entre 5 y un número muy grande, para comprobar que los primos se vuelven cada vez más escasos
y aunque no he hecho aún una gráfica ( me pongo a ello) supongo que será una curva asintótica con y=0 , eje OX, pero no aventuro nada hasta verla...
Saludos
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en noviembre 13, 2015, 05:06:36 am
Prosigue... Para J=12000 y N=6x12000+1=72001 , que no es un candidato a primo demasiado grande, hay  s.e. 3509 VPs primos, entre 24000 candidatos, lo que da 14.6% de primos. Esto manifiesta cómo decrece el porcentaje al que nos referíamos. Cuando el N sea desproporcionadamente grande, su probabilidad de ser primo es bajísima, precisamente porque la probabilidad de encontrarle un divisor es enorme porque hay muchísimos posibles divisores menores que él. Ese 14.6% nos reafirma en el supuesto. Lo que sí quiero resaltar es que en la gráfica de porcentajes no hay en absoluto continuidad aunque sí tendencia en los valores promedio decreciendo . Los valores del porcentaje oscilan en torno a valores medios decrecientes, pero en la serie se observan oscilaciones constantes , al modo de la serie siguiente:  0.8, 0.75, 0,77, 0.72, 0.71, 0.66, 0.69, 0.65,... etc  con valor promedio decreciente.
Esto también nos indica la dificultad para sistematizar cualquier proceso de cálculo en torno a la distribución de los primos.   
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en diciembre 02, 2015, 12:36:12 pm
Entonces, ¿ qué caracteriza esencialmente a un número primo? Vemos cómo se distribuyen en torno a los múltiplos de 6, cómo pertenecen a dos clases, una más numerosa que la otra, lo que dificultará la aparición de pares gemelos, y cómo disminuye su número progresivamente en el conjunto de los números naturales a medida que crece el valor absoluto del número considerado en una relación que parece contener una expresión del tipo 1/f(N) . Si existiera una propiedad expresable mediante un algoritmo o una relación lógica que caracterizara a un número como primo independientemente de su cardinal, habríamos resuelto un problema ingente, ya que bastaría aplicarlo en cada caso para obtener la respuesta. En su lugar, el único proceso seguro conocido, hay alguno aproximado, es utilizar la tabla de Eratóstenes y seguir con ella hasta el final. La única característica medible exactamente es la cantidad de primos genéricos menores que el dado, lo que en definitiva expresa su cardinalidad .  A un número grande, baja probabilidad, si pequeño, mayor. Lo que hemos aportado aquí es, al menos, que si analizo el candidato, ya sabré si es PG y, si lo es, PG+1 o es PG-1 , con ello sabré si sus factores, de tenerlos , habrán de ser de uno u otro tipo: p.e. el candidato 35 es del tipo PG-1, luego si es FP ( como lo es ),  debe tener un factor de cada tipo, como los tiene, 5 de tipo -1 y 7 de tipo +1. El candidato 91 es PG de tipo +1 y sus factores deben ser del mismo tipo ( comprobar 7 y 13 ) ... Nótese que con ello parece que conseguimos reducir a veces a la mitad la búsqueda de factores , pues conocemos a qué tipo pertenecen. Es una sensación falsa, porque el número de factores posible sigue siendo inmanejable y siempre hay que probar todos, los +1 y los -1 , aunque de la impresión, falsa, de que hemos avanzado algo .... vamos que, tratándose de primos, no hay esperanza. Solo conseguimos probabilidad. Pero sí que sabemos algo nuevo ... que si tengo que contarlos  , hay menos, bastantes menos, primos de clase +1 que de clase -1. ¿ Alguien recuerda por qué ?
Saludos
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: cefas en diciembre 03, 2015, 04:02:21 am
Yo sí. Porque al multiplicar dos factores Pg que convierten al producto en otro PG falso primo, por ejemplo 5x11=55 ( los dos de tipo -1) hacen un falso primo, 55,  de tipo +1, lo mismo que si son los dos del tipo +1, por ejemplo 7 x 13 = 91 que también es de tipo +1... lo que significa que es más fácil ser primo -1, que solo se consigue de una manera, con un pg+1 y otro -1, como 5 x 7 = 35... así que ganan los fp por dos a uno, como quien dice... por lo menos en esta combinación. Lo he comprobado y siempre sale algún primo más de este tipo (-1) , por lo menos hasta donde he llegado con mi lento Pc ...
Saludos
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en diciembre 20, 2015, 04:32:21 am
Así pues, ¿podríamos aventurar alguna característica individual que permita saber si un número dado N es primo o compuesto?. Desde el punto de vista del proceso que venimos desarrollando, parece ser que no, puesto que el hecho de ser VP o FP no va a depender de él mismo sino del hecho de que puede ser anulado por los productos posibles entre los otros Pg menores que él mismo. Digamos que todo PG es primo mientras se lo permitan los demás PG<N...
Entonces, para un N suficientemente grande, las posibilidades de ser VP, como ya hemos visto, van a ser mínimas. Veremos, a continuación, si es posible, buceando en ese mundo complejo, encontrar algún procedimiento para aligerar los cálculos enormemente largos, necesarios para determinar si N es primo o FP. De antemano confieso que no he encontrado nada digno de interés, más allá del que siempre tiene enfrentarse a un desafío matemático de envergadura. Pero para mucha gente, el desafío es siempre interesante y fructífero, aunque solo sea por el valor del entrenamiento mental a que obliga.
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en enero 10, 2016, 06:28:34 am
Representando los primos genéricos PG , o sea, los verdaderos primos VP + los falsos primos, los FP.
Ahora que sabemos que los números primos, los verdaderos primos, que escribimos VP, parecen no poseer una estructura interna específica que permita encontrarlos, vamos a tratar de contradecirnos buscando un simil geométrico que sirva como modela para ellos, un dibujo que pueda servir de foto de familia para todos ellos. Como bien sabemos, el VP es solo divisible por sí mismo y por la unidad, de modo que n=n x 1 es la única descomposición en factores posible para él. Ahora bien, conocemos esta propiedad :                                ( a+b) ( a-b) = a2 -b2     (1)
tomemos un  n=VP , cuyos factores son n , 1 y lo escribimos          n     .    1    =    n         (2)
hagamos en (1)  a+b=n     a-b=1   y resolvamos el sistema ....   (a+b)=n    (a-b)=1
 soluciones                                                                                 a=(n+1)/2   y  b=(n-1)/2   (3)
Por lo tanto, si transformamos estas igualdades en elementos geométricos que las cumplen, si dibujamos dos cuadrados inscritos de lados a  y b  ... sus superficies son a2 y b2 y su diferencia, exactamente n, luego todo VP se puede representar mediante dos cuadrados inscritos ( uno dentro del otro con un lado común...) . La superficie intermedia tiene como medida N.
Ejemplo: Sea el VP=13
Según (3),  a=(n+1)/2=(13+1)/2=7
                   b=    -       =(13-1)/2=6
 N=13=49-36=13   lo que, porotra parte, ya sabíamos porque los números impares son la diferencia entre dos cuadrados consecutivos....Esto nos dice que los VP SOLO son la diferencia entre dos cuadrados consecutivos. Pero ¿ Cómo se representaría, con este mismo criterio , un FP, o sea, un falso primo y sepamos si solo tienen una representación única como diferencia de dos cuadrados consecutivos ?
1.- Como los FP son impares, siempre existe una posibilidad con sus dos cuadrados consecutivos.
2.- Si aplicamos las ecuaciones anteriores a un FP que, por serlo, tiene dos factores PG, será
      N = f1 * f2
      Hagamos        a + b= f1
                             a - b = f2         y resolvamos ....  a= ( f1 + f2)/2
                                                                                b = (f1 - f2 )/2
y, por lo tanto,   N = a2 -b2

Ejemplo: sea el numero primo genérico ( 6j+1)   ,  N= 13 * 7 = 91  con f1=13  y f2=7
               sus valores a y b serán  (13+7)/2 =10
                                                      (13-7)/2 =3
                luego N=91=10E2-3E2=100-9=91

de donde deducimos que al ser 91 un numero no primo tiene dos representaciones diferencia de cuadrados, la primera le corresponde por ser impar y es la diferencia de los cuadrados consecutivos  46*46=2116   y 45 *45=2015       2116-2025 = 91 

y además,la segunda,  la obtenida antes 100 - 9 = 91

Como vemos, la singularidad del numero primo lo mantiene en una posición de exclusividad, pues solo tiene una ünica representación gráfica mediante diferencia de cuadrados consecutivos.
Sugerencia de estudio. Si  deseamos obtener los factores de un FP ( 91)  podemos partir de su representación como impar  91=46E2 - 45E2  y tratar de obtener la segunda  ...

Como siempre, advertimos al lector animoso que no es un asunto sencillo. Hasta ahora, ni Gauss ni Hilbert ni cualquier otro genio matemático conocido ha conseguido reducir la dificultad de factorizar un Primo grande... y gracias a eso mantienen su misterioro encanto y podemos seguir con el tema sabiendo que el camino parece no tener fin.
Saludos
 
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en enero 23, 2016, 10:40:30 am
Un amigo y compañero de tareas me dice que los números primos son números autistas... o sea que además o en vez de ser los ladrillos esenciales del conjunto N de los naturales, los ve también como incapaces de relacionarse con los demás números. La sutileza del símil me parece que bien merece un pequeño comentario.
Título: Re:Candidatos a primos a precio de saldo
Publicado por: deneb en febrero 10, 2016, 01:13:23 pm
Se dice y se sabe que en algunas operaciones y técnicas se necesita disponer de números primos por ejemplo para operaciones de encriptación y seguridad.  Pues bien, con lo que he venido contando hasta aquí, supongo que ya nos hemos dado cuenta de que disponemos de una maravillosa maquinita productora de miríadas de candidatos a primo entre los que elegir. Hela aquí, y gratis.
Tomen un seis y añádanle los ceros que quieran, entre uno y un cuatrillón, más o menos , y  añada un modesto uno al final. Ya tiene un múltiplo de seis más uno, un PG+1 como éste: 60000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001
Ya tenemos un PG de tipo +1, candidato a ser primo. Solo, SOLO , solo queda confirmarlo.
Si quiere producir candidatos PG de tipo -1, reste dos unidades a los anteriores y los tendrá. Eso equivale a  escribir cantidades formadas por un cinco e infinitos nueves a continuación, como 59999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999...
Son PG-1 porque en cuanto les añada una unidad será un múltiplo de 6...
Así de fácil. Pero ya saben, hay más primos entre los PG-1.
Saludos y a calcular de cuántos candidatos a primos hemos tratado hoy.

Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en febrero 19, 2016, 05:14:19 am
Prosiguiendo con el asunto de la frecuencia de los primos, hemos visto que aparecen cada vez con menor frecuencia a lo largo de la serie creciente de los números naturales.Al principio, todo son primos, 1,2,3,5,7,11,13,17,19,23, y se acabó, aparece el 25=6x4+1 ( primer PG que es falso primo), y cuando los PG se hacen grandes, empiezan a menudear los fallos, 35,49,55... También hemos demostrado que el carácter de primo no es atribuible a alguna característica propia del número PG concreto sino al hecho de que, a medida que crece su valor absoluto, la probabilidad de que sea abatido por algún par de sus predecesores y convertido en falso primo, va creciendo. Por otra parte, la frecuencia entendida como probabilidad es el cociente entre dos valores, la aparición de éxito y el total de posibilidades. En el caso de un número N candidato a primo, el éxito solo puede ser 1 y las posibilidades, todos los números PG anteriores a él y, si ampliamos las posibilidades, todos los naturales <N. La probabilidad de que N sea primo resulta así = f(1/N).
Creo que a las matemáticas no les importa demasiado de qué estamos tratando, sino del formato que adquiere lo tratado expresado en su lenguaje particular. Hemos llegado a f(1/N) y , en cierto modo,  aunque no conocemos la forma matemática de esa f(), podemos simplificarla hasta el f=1/N .
Tambien podríamos hablar de la " velocidad con que aparecen los primos" ya que se trata de examinar cómo se incrementa el número de primos a medida que crece, y eso es, en definitiva, muy parecido, si no igual, a una velocidad , que disminuye con N.
La velocidad es la derivada del espacio x respecto del tiempo t , dx/dt y aquí, transportada a la cuestion que nos ocupa sería, haciendo
dx->incremento de números primos=dVP
dt->dN ( tomando numeros  por tiempos),  N=PGs o los naturales, según queramos...

                                  ***** dVP=dN/N    siendo N el número de PGs ó nat.  hasta N ... *****

Integrando esta ecuación , se llegaría, de ser exacta, a poder calcular el número de primos exactamente hasta N y, con ello, en dos pasos sucesivos, saber si el N es o no es un primo verdadero. Este ideal sería algo como esto: Hasta el N=6001 el número de VP es 235 y hasta el 6007 es 236... luego , como 236-235=1, hay un primo entre 6001 y 6007; como el intermedio 6005 es FP ( hay un 5), resultaría que 6007 debería serlo. Claro que esto ocurre solo en un país, llamado Utopía. :)
Lo que pasa es que f(VP) no es una función continua, sino que procede a saltitos... saltitos que van de seis en seis y en tres sucesiones distintas... los PG+1, los PG-1 y los productos mixtos o bien, desde otra perspectiva, todos los PGs anteriores a N que, en vez de ser continuos, son enteros y en sucesiones de saltos 2 y 4 alternadamente... 5,7,11,13,17.......o, finalmente, la serie de números naturales hasta N. Cada punto de vista modificaría la forma de f(vp).
Como la integral de dN/N nos lleva directamente a la función logarítmica y=ln x  expresada por : número de VP hasta N = logaritmo neperiano de N, resulta que la distribución de los primos verdaderos se nos va a presentar revestida de esa forma matemática...
Hay por ahí diversas aproximaciones de autores diversos, tratando de dar vida y carácter a esa f() de un poco más arriba, creo que usando solo n  naturales... que se pueden examinar en textos adecuados.
Con nuestra distribución en categorías, se podría intentar caracterizar la distribución de primos VP en los dos grupos VP+1 y VP-1, despues de conocer qué los diferencia y la cota inferior de esa diferencia.  Puede resultar más sencillo, sin embargo,  usar N como uno más de la serie de naturales.
Saludos 
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en marzo 17, 2016, 04:05:53 am
Acabo de leer sendas noticias en Nature y en el apartado de ciencia del diario ABC, ambas sobre números primos. La primera, sobre el extraño patrón de los números primos, estudiando el cómo y el por qué terminan en determinadas cifras. La segunda, descubriendo un número primo enorme entre los llamados números de Mersene.  Me alegro de poder ofrecerle un candidato muchísimo más largo, como de doce mil billones de dígitos, ya saben, un seis seguido de ceros y cerrando con un uno (PG+1), al que solo queda someterlo a algún cálculo más para saber si es primo, :) cosa poco probable, por lo que sabemos ( tiene demasiados enemigos trabajando en su contra, exactamente todos los PGs menores que él ) .
En cuanto a las estructuras o patrones que siguen los primos, me extraña que no sepan lo del 6k+1 y 6k-1,( no visitan diosoazar ),  que son dos patrones muy conspicuos y dotan al conjunto de características muy definidas, al separar a los candidatos en dos estructuras algebraicas con propiedades distintas respecto de la operación producto .
Los de Nature eran de la Universidad de Stanford. Por cierto, el nuevo primo hallado tiene un billón de cifras... Si algún visitante o usuario tiene un buen PC o un buen equipo de PCs podría intentar descubrir uno del tamaño máximo que puedan computar, porque candidatos, tenemos todos los que queramos y gratis ( al menos por ahora), tenemos todos los 600000....1 y todos los 5999999...
que quepan en las memorias. Ahora solo queda reducir el tiempo de cálculo... pues con lo que sabemos, se puede reducir aunque siga siendo estratosférico para ese tipo de números y, si fuera profesor o alguien esté aburrido, éste sería un buen ejercicio a desarrollar en las próximas vacaciones de Semana Santa...
Saludos
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en marzo 29, 2016, 05:47:52 am
Me gustaría saber, a la vuelta de las vacaciones de Pascua, que hay por ahí algún candidato a VP descrito como un par cientos de miles de millones de cifras, de tipo PG+1. que no voy a escribir completo porque no me cabe 6000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 ...............1 para saber si es o no es primo. Solo por curiosidad, un número de ese tamaño, a 1mm por cifra, tendría una longitud de 200 000 000 000 mm, 200 000 000 m , 200 000 km , cinco vueltas a la Tierra, ahí es nada.
Y en el almacén de candidatos me quedan unos cuantos aún mucho más largos. Se acabó la escasez de candidatos a primos.
Y como ser primo es cada vez más improbable a medida que crece el número ¿ Cuál sería la probabilidad de que nuestro candidato resulte ser primo ? Pues exactamente uno menos la p de ser falso primo ( FP), me contestaba mi alumno más brillante..., siempre al quite.
Como no es conveniente, recién llegados de unas vacaciones, poner el motor a muchas revoluciones, dejaremos el asunto en pregunta, más que nada por si alguien se anima a responder...
Saludos
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: cefas en marzo 30, 2016, 12:07:33 pm
Estimado deneb: no te extrañes de la falta de respuesta. Es que estamos escribiendo el numerito. Y a una cifra por segundo, vamos a necesitar 200.000.000.000 segundos. Yo voy ahora, más o menos por las primeras 200.000 cifras cero, y voy casi a 2 c/seg. Calculo que en un millón de días estaré terminando. Mientras tanto, recibe un larguísimo abrazo. Cefas
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en abril 05, 2016, 04:37:10 am
Estimado Cefas. No tengo prisa. Te esperaré. Avísame en cuanto termines, para entrar en un nuevo capítulo.
Deneb
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en abril 21, 2016, 11:29:42 am
Sigamos con los primos y sus amigos... Sabemos que los primos se presentan, a lo largo del conjunto de los N naturales ( lo mismo que en la serie de PGs), de un modo aparentemente aleatorio, y que, además, son cada vez más escasos. Hoy vamos a ver un procedimiento que nos permita escribir una ristra de números n  consecutivos que sean todos compuestos. Y además, como el procedimiento es elástico, vamos a poder escribirlas del tamaño que queramos. Y con ello demostramos que en la serie de números naturales 2,3,4,5,6,7,8,9,10...  ( como en las de PGs), las sucesiones de números compuestos, en ésta 8,9,10,  ( o de FP) se hacen tan largas como imaginemos, y sepamos escribirlas. El ejercicio también se puede plantear así: escribir un serie de cien números n consecutivos entre los cuales no haya un solo VP. Estudiemos un número formado por una expresión de este tipo
                                N1! + n  ( 1< n < N1+1)
13!+2 = 2.3.4.5.6... 13+2   es un compuesto de factor 2      = ( 6227020802)
13!+3=2.3.4.5.6......13+3                                              3      = ( 6227020803)
hasta...
13!+13=2.3.4.5.......13+13                                           13     = ( 6227020813)
y ya tenemos 12 números compuestos consecutivos... ¿ Y si tomáramos 101!+2,3,4... ?

Con ello descubrimos que si escribiéramos la serie total de los N y fuéramos tachando los VP, encontraríamos series inmensas de números sin ningún primo intermedio, cualquiera que sea la longitud de la serie que imaginemos... ¿ Existe una serie de 10E10 números naturales consecutivos que no contenga ni un solo número primo intermedio ? La respuesta es siempre SI.
Lo mismo se aplica a una serie que solo contenga PGs...si de las anteriores series eliminamos los que no son PG.
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en abril 25, 2016, 11:19:06 am
Después de leer lo anterior, Otto le dijo a Fritz : Te apuesto media cerveza a que no eres capaz de encontrar un tira de doscientos millones de números seguidos entre los que no haya ni un solo primo. Fritz se lo está pensando, para ver si puede doblar la apuesta y tomarse una cerveza entera gratis a costa de Otto. Por ahora ya he encontrado una tira , pero todavía es corta: 121, 122,123,124,125  y 126. El 127 le ha estropeado la tarde y además es un número rarito que se usa muchísimo para poder fabricar ruedas y engranajes...¿por qué será ?.
Saludos
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en junio 01, 2016, 11:14:46 am
Sobre los números primos,  ha habido numerosos intentos de conseguir un algoritmo, una fórmula, para la cual , simplemente variando alguno de sus elementos, el resultado fuera siempre primo. Y esta es una tentación persistente, tanto que casi nadie de lo que alguna vez ha tenido contacto con ellos, ha dejado de sufrirla... Y es que hay expresiones muy tentadoras, como las potencia sucesivas de dos , más o menos uno, alternadamente... Probémoslas:
2     4     8     16      32      64       128      256   y añadamos y quitemos uno alternativamente
-1   +1   -1     +1     -1       +1        -1         +1
1      5    7      17     31      65       127      257
Casi lo habíamos conseguido y nos lo ha estropeado ese 65 inoportuno...
Quedáis todos invitados a proponer algoritmos mejores, que seguro que los hay. Basta leer alguna página o libro donde se hable de ellos, porque son los números más estudiados del planeta Tierra.
Postdata. Supongo que os habréis dado cuenta de que todos los números de nuestro ejemplo resulta que son de las series PGs de las que hemos venido escribiendo. Casualidad o precisión, he ahí la cuestión.Saludos.

Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en julio 17, 2016, 01:39:43 pm
Seguimos con el tema del #32 en el que explicamos cómo se puede fabricar una ristra más o menos grande de números consecutivos que no tengan ni un solo primo... pero ahora nos preguntamos si se puede conseguir lo mismo pero haciendo ristras con números primos. La respuesta es NO. Y es que los primos más  pequeños lo estropean rápidamente, si pensamos que cada cinco números uno es ya múltiplo de 5 y cada siete es múltiplo de 7... las mayores y mejores tiras de primos son las primeras.... 5,7,11,13,17,19,23 ( y se acabó ). Se acabó porque el siguiente PG es ya un FP , el 25.
Y sin embargo hay infinitos primos y parecería que habiendo infinitos, deben estar por todas partes y en cantidades astronómicas, pero no es así... Hay infinitos número primos, VP,  pero muy repartidos, repartidos de forma que parece aleatoria y cada vez más escasos.
Hay una diferencia notable entre el número de VPs y el de FPs, y es ésta: Un VP genera él solo, infinitos FP, por ejemplo el 5 genera infinitas potencias de 5, 25,125,625... de modo que para cada VP hay infinitos FP y, sin embargo, y a la vez, se puede poner en correspondencia un conjunto con el otro.Y es que los conjuntos infinitos parecen infinitamente raros...
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: cefas en julio 18, 2016, 01:32:58 pm
Caramba Deneb, un día de estos te nombrarán miembro "honoris causa" de la familia más extensa que se conoce, con infinitos componentes,  la de los números Primos, familiares de cuarto grado entre sí, según creo. Ya nos avisarás cuando ocurra, para celebrarlo.
    "¿ Cuál es la familia más grande que se conoce ?
    No se. ¿ Cuál?
    Pues la de los números primos.
    Pero esos son números, no familiares
    ¿ Cómo que no son familiares, si son primos entre sí?"
Más que nada para distraer la mente de asuntos tan abstractos como los números y sus derivados, los infinitos potenciales y los infinitos actuales y otras bellezas de las matemáticas. Saludos
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en julio 24, 2016, 04:07:36 am

Remember: VP significa Verdadero primo o nº primo , FP  significa  Falso primo o compuesto, N es el conjunto infinito de nº enteros, E2 representa el cuadrado, E3 elcubo, etc.
Siguiendo con los infinitos FPs, y ahora en concreto con esa ristra de familias infinitas de FPs nacidas cada una de un solo VP, vemos que el tamaño relativo , si se puede hablar de tamaños, del conjunto de VPs es infinitamente menor que el de FPs... y eso aunque solo consideremos un tipo especial de FP, las potencias sucesivas de cada VP.
Propongo una imagen que puede aclararnos esta relación:
Imaginemos a los VPs colocados en una cuerda o línea horizontal y le hacemos un nudo cada VP cm., el nudo del 5 a 5cm del origen, el del 7 a 7 cm, etc, y  tendremos una cuerda de longitud infinita con sus infinitos nudos VP... que  será imagen del conjunto de los VPs. Este conjunto de VPs contiene menos elementos que el N, como es lógico, sin dejar de ser infinito , como demuestra Euclides todavía hoy.
Ahora, colgamos de cada nudo VP una nueva cuerda en la que van anudados nudos nuevos, las infinitas potencias sucesivas ( N ) del VP de la cuerda original ( E2,E3,E4,...En...). Cada cuerda vertical es infinitamente larga... Debajo del 5 cuelga el 25,125,625, etc, en total N nudos.
Si conseguimos terminarla, nos quedará una cortina de nudos muy apropiada para decorar la fachada principal del cosmos. Podemos teñirla de colores veraniegos y servirá para que no entren moscas o mosquitos de otros universos. Que la disfrutéis. Pero tiene un defecto por lo menos : que aunque los nudos de las cuerdas verticales se pueden coordinar uno a uno con el conjunto N ( cada una tiene N elementos) , la cuerda horizontal que las sostiene tiene menos elementos que N, está menos aprovechada y tiene amplias zonas en las que no hay nudos ( VPs ), cada vez menos a medida que vamos hacia la derecha,( si empezamos el trabajo desde la izquierda con los 5,7,11,13,17...), y cuando llegue a estar cerca, es un decir, del extremo derecho, apenas tendrá nudos y la cortina no pasará el control de calidad exigible a toda cortina cósmica que se precie.
Sugerencia para las vaciones: tejer mentalmente la cortina de los PGs, que es más fácil...
Se admiten imágenes... y matizaciones o correcciones de errores.
Saludos
 
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en julio 27, 2016, 01:35:41 pm
Una cortina con grandes agujeros.... ? Pues sí, esta cortina dejaría pasar muchos mosquitos , y hasta algún que otro planeta. Pensemos en la cuerda horizontal, la de los VPs. ¿ Cómo llegan a estar de separados dos VPs consecutivos cuando n es enorme ?.
Pensemos un n enorme y hagamos n! ( factorial), ... entonces, n!+2 es múltiplo de 2, n!+3 lo es de 3, y así hasta n!+n. Eso significa que hay n-1 números consecutivos, los mismos que hemos calculado hace unos días, la ristra de FPs, aquí sin ser PGs , sin que entre ellos haya un solo primo. Eso indica que los VPs pueden estar separados por enormes distancias numéricas, pero, ojo, sin orden , porque la siguiente ristra como la que hemos visto sería para (n+1)!, y ese es otro número mucho mayor que n!. Vamos, que allá arriba, entre los PGs o los n de cien millones de cifras, por ejemplo, tiene que ser aburrido encontrar primos, pero siempre los hay, porque hay infinitos.
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en agosto 13, 2016, 03:34:08 am
En esto de los infinitos hay un mundo infinito de infinitas posibilidades e imposibilidades a la vez, o sea un mundo de paradojas que se nos escapan, seguramente porque la esencia del infinito , en general, sin entrar en disquisiciones, no cabe en una mente finita. Por eso, a la hora de representarlos, hay que escoger algún sistema de representación o código que  nos permita comprender de qué estamos hablando. Pongamos un ejemplo. Partimos del conjunto infinito N de los números enteros positivos, los naturales, esos que sirven para contar ovejas... Si tenemos un rebaño infinito de ovejas y un conjunto N infinito de pegatinas cada una con su número, podemos poner una a cada oveja y no nos sobrará ni faltará ninguna pegatina, como es lógico. Pero ahora viene mi hermano con su propio rebaño infinito de ovejas y me pide por favor que le marque las suyas... Lo siento, le digo, ya gasté todas mis pegatinas en mi propio rebaño, así que no puedo... ¿ Que no puedes ? Te voy  a sugerir una solución y a lo mejor podemos. Haz una cosa, quítales las pegatinas a tus ovejas y vamos a pintar de azul las pares y de rojo las impares... Bueno, es un trabajo un poco largo, pero cuenta con ello. Y despues de un siglo quitando pegatinas y pintándolas ya tenemos dos montones de ellas, uno azul y otro rojo. ¿ Y ahora qué ? pregunto, intrigado , a mi hermano ... Pues mira, coge tus ovejas y vete poniéndoles pegatinas azules, las impares, 1,3,5,7... y yo les iré poniendo las pares a las mías, 2,4,6,8....¿Tendrás bastantes? , le pregunto... No sé, responde, ¿ cuántas tengo ?... las mismas que números pares hay, le digo, ... o sea infinitas, lo mismo que impares. Menos mal, o sea que tenemos suficientes los dos. Eso parece. Espera, espera, no empieces aún,  que por allá parece que viene otro pastor... más trabajo, quitar pegatinas y hacer tres montones y volver a colocarlas, repartidas en tres colores , tres montones...  y ahora mis ovejas se marcarán con solo [N/3], una pegatina de cada 3 del conjunto [N] . Menos mal que hay infinitos múltiplos de 3, los que resultan de multiplicar 3 por cada número natural N ...
¿ Cómo representar todos estos conjuntos y subconjuntos, N los pares, los impares, los múltiplos de 3, los multiplos de 6, etc ?
Si representamos como [N] al conjunto de los naturales, podemos representar los pares como [N/2], los impares como [N/2], los múltiplos de 3 como [N/3], etc, convenido que no se trata de cocientes sino de que [N/2] contiene un elemento por cada 2 de [N]. Así los pares y los impares son equivalentes y ambos se representan con [N/2].  El conjunto de los múltiplos de 6 será [N/6], uno de cada 6.... etc.
Cuando repartimos las pegatinas entre los dos hermanos, cada uno se llevó [N/2], de manera que las  [N] que tenía yo al comienzo equivalen a [N] ---> [N/2] U [N/2] , Y ahora viene lo más gordo. Cansado de tantos socios, me fui a Australia con mi rebaño y sus pegatinas puestas , ahora [N/3], y allí me encontré con mucha gente como yo deseando marcar sus reses... las mías siguen marcadas , pero, observemos que si repetimos el problema, mis [N/3] pegatinas recién llegadas a Australia servirían para marcar a los innumerables rebaños infinitos que pululan en Australia y todas las ovejas australianas irian marcadas...¿ Que qué pegatinas llevan ahora mis ovejas ? Pues  los múltiplos de 1352311, [N/1352311].
Ya lo dice el refrán : El que tiene un amigo "infinito" , tiene un tesoro.
Bueno, los amigos del foro tenemos Uno dispuesto a regalarnos cuantas pegatinas necesitemos, aunque no tengamos ovejas, sino necesidades. Por cierto, Deneb anda estos días necesitado de marcar un subconjunto de PGs ... y espera que le de las pegatinas que necesita, aunque no sabe cuántas son en realidad, finitas o infinitas. Ya hablaremos.
Saludos infinitos ( y si se pueden contar con N , los llamaremos Numerables, y de paso sabemos lo que significa innumerable ).
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en septiembre 20, 2016, 10:47:32 am
Hace unos días volvió de Australia un amigo de un primo mío, y entre otras cosas interesantes contaba cómo había visto grandes rebaños de ovejas , pero mucho más grandes que los habituales por aquí. Y que le había llamado la atención que todas las ovejas iban marcadas con unas etiquetas parecidas, pero un tanto especiales: en cada rebaño siempre eran del mismo color, rojas o azules, y curiosamente,  todas exhibían números múltiplos de alguno dado. Incluso encontró uno cuyos números eran múltiplos del de su documento de identidad. El pastor le informó que así , cuando se encontraba una oveja perdida, enseguida sabían a qué rebaños de la zona podía pertenecer...
Le explicamos que la cosas era muy sencilla de explicar: llevaba varios meses perdido por las enormes llanuras australianas, lejos de la cultura de Internet, y no había leído el post del 13 de Agosto. Como todavía me quedan infinitas etiquetas sin usar, estoy pensando en proponerle  el trabajo de venderlas en todos los demás países. Al fin y al cabo, el producto ya está fabricado , hay reservas ilimitadas, y la mano de obra la van a poner los pastores. Y se puede elegir el color y el número de referencia para todo el rebaño. Y como estamos en época de rebajas comerciales, incentivaremos a los pastores cobrándoles solo la mitad de las etiquetas, y a un precio especial: un centavo de dólar por unidad. Con su permiso, voy a calcular el total a cobrar...
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en octubre 04, 2016, 02:03:58 pm
En el mundo de los primos, estos días es noticia en los medios un matemático peruano, Harald Helfgoll, que ha ideado un algoritmo que ahorra memoria en el proceso de la criba de Eratóstenes aplicada en los Pcs para determinar si un número es primo. Este mismo investigador ha resuelto la llamada conjetura débil de Goldbach, que dice que todo número impar mayor que 5 es la suma de tres primos. Se llama débil porque existe otra conjetura más difícil de demostrar que dice que todo número par mayor de 2 es la suma de dos primos. Y no son cuestiones que se puedan resolver como un sudoku, supongo, pues este tipo de conjeturas suelen ser tan rematadamente difíciles que suele tardarse cientos de años en demostrarlas, si se puede, y a  menudo mediante procesos matemáticos de decenas de páginas que solo los expertos consiguen comprender. De todos modos, seguro que los auténticos aficionados a las matemáticas seguirán intentándolo.
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en noviembre 12, 2016, 04:43:30 pm
Y una vez tratados los asuntos más esenciales de los números primos, trataremos de sintetizar lo que vamos aprendiendo de ellos en varias aplicaciones. A la primera la llamaré , pomposamente,el teorema de la asimetría de los números primos, porque veremos que los primos tampoco se llevan muy bien entre ellos y, puestos a ponerlos en orden, no hay forma de colocarlos en dos grupos equivalentes, nunca hay tantos blancos como negros, tantos redondos como cuadrados, tantos oscuros como luminosos. Hay un par de formas de demostrarlo, pero por ahora veremos una. La otra es bastante más compleja, aunque tiene la ventaja de acotar la asimetría. Pero no nos hagamos demasiadas ilusiones, los VPs son lo suficientemente complejos, sin serlo, como para resultar imprevisibles.
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en noviembre 17, 2016, 10:54:09 am
Ref. P.I. PMBOM261140
Citar Ref. y  origen en este foro
                        Teorema de la Asimetría de los números primos:  Parte I
Previos:  Para  simplificar el estudio de los números primos en general, comenzamos separando del  conjunto N de los naturales, además del  uno,  el 2 y el 3 ( primos elementales) y sus múltiplos.  El resto está formado por números naturales  de dos clases,  6 j+1  y  6 j-1 , siendo  j entero positivo,  y  los denominamos  Primos Genéricos o PG, en los que centraremos el estudio..  De ellos, unos son  verdaderos números primos, VP, y el resto, números compuestos o falsos primos,  FP , todos de una u otra clase. [PG]=[VP]+[FP] . Los dos Vps de una misma j, se denominan primos gemelos.
[PG]=(VPs+1) + (VPs-1) + (FPs+1) + (FPs-1)= 5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,41...   [VP]=5,7,11,13,17,19,23,29,31   [FP]=25,35,49,55,65...   con  [PG+1]=7,13,19 ... [PG-1]=5,11,17,19,25 ... [VP+1]=7,13,19,31 ... ]VP-1]=5.11.17,23,29,41...  etc, etc
En la serie de PG de cada clase, el valor j señala el ordinal que ocupa cada uno. Así, para j=1, tenemos 5 y 7, para j=2, el 11 y el 13 y así sucesivemente. Comprobamos asimismo que los números  primos, VPs , y los compuestos , FPs, está distribuidos en dos clases, la clase +1, 6 j+1 y la clase -1, 6 j-1. Ejemplo. El VP=127 siendo 6 x21+1 es de clase +1 y ocupa el lugar 21º  en la serie de PGs de su clase, siendo su gemelo  6 x21 - 1=125, claramente FP.
Mediante productos entre los VPs de la misma o distinta clase se pueden formar todos los números  compuestos o Falsos Primos,  FPs. ( ya eliminamos los pares y los múltiplos de 3).
Demostraremos que los números primos VPs  no están repartidos en el mismo número  entre las dos clases VP+1 y VP-1 en que se distribuyen. De hecho, veremos que hay más números primos VPs, de la clase 6 j-1 que de la clase 6 j+1 , y esa diferencia (DIF) entre ambas , VP-1 – VP+1 es ilimitadamente grande , DIF -> infinito..

Tesis: Hay más VPs-1 que VPs+1.
Demostración . Comenzamos realizando y analizando la  distribución de los FPs a lo largo de las dos clases de PG, de un modo parecido, no igual,  a lo que realiza la Tabla de Eratóstenes. Tomamos cada uno de los VPs de cada serie, y  generamos sus FPs asociados,  mediante productos con los demás VPs de la misma o de la otra serie. Para nuestro propósito, en primer lugar , nos fijaremos  en los primeros términos FP que se generan en ambos casos. Dado un VP1, puede formarse de inmediato  un FP de cada  clase  con sendos productos : uno consigo mismo, su cuadrado,  y otro con el primer VP2>VP1 de la otra serie. En el primer caso,  se origina un FP de clase +1 y en el segundo, de  clase -1. Ejemplo. Dado el  VP1=7, forma dos FPs inmediatos:  uno de  clase +1, 7x7=49 y otro de clase-1, 7 x11=77, siendo 11 el VP2>VP1 más próximo. Recordamos que el producto de dos PGs de la misma clase es otro PG de clase+1 y  si son de distinta clase, de tipo -1.
Teorema previo de las series de FPs: 
Se verifica que, para todo PG1=6j±1,  los sucesivos PGs obtenidos desde él mediante  la serie PGS=6 ( j + n x PG1)±1 , para todo n natural , son Falsos Primos,  múltiplos de VP1 e infinitos, con n. En efecto:
PGS= 6(j+n.PG1)±1=6j±1+6n PG1= PG1 +6n.PG1=PG1 (1+6n), ( 0< n < ∞)     (1)
Corolario  :  Para todo VP1, de una u otra clase, podemos obtener  un primer FP de cada clase, generando desde VP1 de la forma siguiente:   Primer FP+1=VP1 X VP1 , y primer FP-1= VP1 x VP2 , con el primer VP2 de la otra clase y >VP1. Y a partir de ambos valores, cada VP1 términos, tendremos los sucesivos FPs, aplicando (1).
Por ejemplo, el proceso (1) para VP1=5 es, FP+1=5x5=25 y FP-1=35 en cada clase, y:
 Clase +1:  7  13  19  25  31  37  43  49 55  61  67  73  79  85  91  97  103
Clase -1 :  5  11  17   23  29 35  41  47  53  59 65  71  77  83 89  95 101
Ejemplo 2º . Dado VP1=7,  FP1+1=7 x 7 = 49, y FP1-1=7 x 11=77
Aplicando el teorema de las series de FPs (1) , señalaríamos como FPs a los términos iniciales, 49 y 77 y todos los siguientes con una cadencia de 7=VP1. O sea:
Serie+1 : 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97 103 109 115 121 127 133 139
serie-1:  5 11 17 23 29 35 41 47 53 59 65 71 77 83 89 95 101 107 113 119 125 131
Una vez iniciado el proceso, no es necesario utilizar los valores ya reconocidos como FP por VPs anteriores , y así, con VP1=7, los valores  como 25, 35,55,65 etc , ya están señalados como FPs desde el VP1=5 y no es necesario preocuparse por ellos, aunque alguno, el 35, sea a su vez múltiplo de nuestro 7.  A medida que avanzamos en la tabla, igual que con la Eratóstenes, los valores que permanecen como VP a la izquierda del VP1 de turno son ya verdaderos primos... Así, pues:
Para todo VP1, ( p.e. 5...), los infinitos  FPs generados ( sus múltiplos) se distribuyen de la siguiente forma en las series de PGs de cada clase :
En la clase +1, son FP, a partir de su cuadrado VP1 x VP1 ( 25) , cada VP1 (5) términos de dicha clase. Los cuadrados siempre son de clase +1.  En la clase -1, serán FPs , a partir del  producto con el VP siguiente de la otra clase, VP1 x VP2, (5 x7=35 ), todos los términos  con la misma cadencia, 5=VP1. Ver subrayados  en ejemplos anteriores.

Retornando al teorema principal, vemos que este proceso de aparición  de FPs presenta una característica especial.  En cada proceso  y para cada VP1, la clase +1 es la primeramente afectada, puesto que  (FP1=VP1 xVP1) < (FP2=VP1xVP2), y con ello, el intervalo  disponible para  aparición de FPs resulta mayor para los de clase +1, pues empieza antes y termina, para cada caso propuesto , en el mismo valor final.  Además, a medida que los VPs se vuelven más escasos, y con ello crece  la diferencia entre VP2 y VP1, crece aún más la diferencia entre los iniciales FP2 y FP1, de modo que es mucho más probable que en dicho intervalo { FP1, FP2} aniden más FP+1.
(Sigue parte II en siguiente post)
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en noviembre 17, 2016, 11:15:29 am
  REF PMBOM261140
  citar origen este foro
                                      Teorema Asimetría Numeros Primos    Parte II

... Por lo tanto, aunque condicionados por la variabilidad de la distribución de VPs y limitados a elementos de tipo PG, se producirán, en promedio, más FPs+1, que serán más numerosos que los FP-1 , más tardíos en su aparición,  y que disponen de  intervalos menores a medida que aumenta la diferencia entre VPs sucesivos
Y como el total de PGs de ambas clases  es el mismo,  [PG+1]=[ PG-1], y  los términos VP y FP de cada clase son complementarios, la mayor aparición de FPs de una clase supone la disminución de los VPs correspondientes de la misma , de modo que, habiendo más FPs de clase +1, deberá haber menos términos VP+1 de esa misma clase. Por lo tanto:

                    Los VPs-1 son más numerosos que los VP+1.   q. e. d.

                               **********************************

Notas.-
1.- Como hay infinitos VPs en los que aplicar el proceso y cada uno contribuirá de alguna forma a aumentar o al menos a conservar esta diferencia (DIF) , la existente entre ambas clases de VPs crecerá en promedio indefinidamente . No obstante, dada la variabilidad en las series de VPs y FPs de ambas clases , el crecimiento  de la diferencia será irregular, pero creciente en promedio hacia:
 
                                       DIF= [ VPs-1] – [VPs+1] ---> infinito

2.- Respecto de los productos  generados  desde  FPs, por ejemplo desde FP1=25, notemos que estos FPs poseen siempre un factor primo  (5) =VP1 < FP1 , desde el  cual ya han sido eliminados como FPs todos sus múltiplos, incluido el propio FP1(25), por lo que desde ellos no se genera ningún nuevo FP, exclusivo o propio.
Se demuestra que el valor de la cota superior de DIF,  a partir de cierto n finito tiende a j((√n)=+√n/6 .
Ejemplo: hasta PGz ≤ 4256267, cota DIF=343.    DIF real=211 <343. Ver tabla final

Lucronium 14-XI-2016
PMBOM261140





TABLA DE VALORES Y DIFERENCIAS  ENTRE VP- Y VP+ HASTA N=4x10E6

   N             VP                    VP-      >          VP+                DIF
7949      1001                     509                   492                17
17419   2001               1009                  992                17
104773   10001      5010               4991                19
200231   18001      9006                8995               11
300109   26001      13027      12974      53
402037   34001      17037      16964      73
506183   42001      21032      20969      63
611993   50001      25043      24958      85
706051   57001      28536      28465      71
800621   64001      32054      31947      107
909737   72001      36021      35980      41
993197   78001      39018      38983      35    
1299791   100001           50038               49963               75
2015203   150001              75063               74938              125
2750197   200001              100058             99943              115
3497899   250001              125056            124945             111
4256267   300001           150106            149895              211    ja=343 cota sup.

Como vemos, DIF es oscilante, pero creciendo en promedio....

PMBOM261140
Lucronium
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: cefas en noviembre 18, 2016, 01:24:26 pm
Hola Deneb. Veo que el post es más bien largo y necesitaré unos días para leerlo y digerirlo. ESpero que me sea leve. Saludos.
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en diciembre 05, 2016, 12:01:47 pm
Acabo de releer los post anteriores y me permito llamar la atención de los visitantes sobre esta extraña asimetría VP-1 > VP+1 , que se produce entre las dos poblaciones de primos. Claro que es una asimetría provocada por la clasificación sobre los múltiplos de 6, y no se observa en los métodos normales, pero cuando algo presenta asimetrías visto desde alguna perspectiva suele ser porque su estructura íntima presenta algún elemento de ese carácter...
Voy a traer a este tema otro post que puede ser de interés para los estudiosos o aficionados a este tema, y que trata sobre una variante de la fórmula general del número de primos menores que un n, aprovechando lo tratado en los posts hasta ahora. No creo que tenga una utilidad práctica inmediata, pero en matemáticas, lo práctico suele quedar velado por la propia belleza del mundo que descubre. Hay tanta belleza en el orden del mundo, que merece ser estudiada por sí misma porque , sin duda, es un reflejo de la belleza de su Creador.
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en diciembre 11, 2016, 03:43:22 am
Primera parte: sobre la distribución de los números primos, fórmula general

PMBERCEOOM  CC Citar autor y fuentes (diosoazar)
                 Ordenando el campo de los Números Primos.
                                       Π(n)=  n /  ln (n)   ( n->∞ )
Analizando la distribución de los Números Primos...
Los números primos,  en su acepción más corriente, son enteros positivos, elementos del conjunto [N]  de los números naturales .Simplifiquemos su estudio  prescindiendo de los números compuestos más comunes, los múltiplos de 2 y de 3, así como de la unidad. El subconjunto de [N] que nos queda comienza en el 5 y está formado por los pares de enteros contiguos a cada múltiplo de 6. Expresado en forma general, nuestro conjunto contiene  elementos de dos formas:
6 j+1  y  6j-1  , para  todo  j entero y ( 1 ≤  j < ∞ ),  dos para cada j.
Para j=1,  5 y 7; para j=2, 11 y 13, y así sucesivamente para todo j entero.               
es decir , los números situados a derecha e izquierda de los múltiplos de 6. Este subconjunto de [N]  contiene, por tanto, un elemento  de cada tres  de [N] , lo que lo convierte en un subconjunto infinito de [N] que aquí  representaremos como  [N/3] ,   con la convención citada.  Como cualquier elemento de este conjunto  ( 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29 ...) puede ser visto, en principio, como un posible verdadero primo ( VP), lo llamaremos  conjunto de los Primos Genéricos [PG] ,  que coincide con nuestro  [N/3] .  De esos primos genéricos, una parte son  verdaderos primos, VPs, ( 5,7,127...) y el resto números compuestos , que llamaremos Falsos Primos, FPs, (25,35,49,55,65,77,91...).
 O sea:    [N/3] = [PG]=  {  5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35,37, .... ∞ }

Todo FP está formado por el producto de dos o más  factores VP distintos o iguales . ( Ya eliminamos el 2 y el 3)  . Ejemplos:  FP,  91= 7 x 13,  121=11 x 11 ,  125=5x5x5 =5x25, 175= 5x5x7=35x5=7x25 ...


Cálculo de PGs y VPs menores o igual a un n dado:
1.- Número de PGs≤ n: Este número puede calcularse exactamente a partir del valor j del número n dado, teniendo en cuenta la clase..
Si n no es un PG, bastará hallar el PG≤n ( Múltiplo de 6±1) más próximo y expresarlo mediante  6 j ±1, y tenemos nº(PGs≤n)≈2.j, según ejemplos.
 Ej.1.-  n=63. PG próximo 61=6 x10+1.  J=10.  nº PGs = 20 PGs                 
 Ej.2.-  n=59. PG  59=6x10-1.  2xj=20  con último par incompleto. PGs=19
                                         La cuestión clave:
2.-Número de VPs ≤ n : Notemos que en el enunciado del problema general de cuántos primos hay hasta n, nos referimos a n como un número natural, prescindiendo de los PG, VG, FP  etc usados aquí.
 Al contrario que en los cálculos anteriores sobre PGs,  no podemos calcular el número de VPs ≤ n con exactitud, pero intentaremos una aproximación lógica, teniendo en cuenta todo lo anterior.
 Por una parte,  tratando de valorar el factor que favorece la aparición de mayor número de VPs,  tenemos que considerar que el número de VPs ≤n  debe ser cierta función de n, p.e.  K. δ (n) , pues a n mayor, más números involucrados, y mayor  probabilidad de encontrar nuevos VPs,  con una expresión parcial, posible o aproximada del tipo:
                                       ∑1º VPs≈K.δ(n)                 1                                                           
Por otra parte, analicemos el o los factores que obrarán en detrimento de la aparición de nuevos VPs. Los valores cuyo incremento deriva en disminución de nuevos VPs son claramente los PGs, generadores de los FPs, cuya aparición desbarata cada candidaturas afectada. Para estudiar este proceso, debemos situarnos en los conjuntos  [PG], [FP] y ]VP].
Los FPs, escasos al principio, VPs=5,7,11,13,17,19,23...FP1º= 25 , se harán cada vez más frecuentes a medida que son creados por productos de los PGs anteriores. Esta frecuencia creciente de FPs hace que la de los VPs disminuya progresivamente, y nos obliga a considerar una expresión que señale este decrecimiento de los VPs  ligado a la aparición progresiva de FPs en el campo PG.
La tasa de apariciones de VPs respecto de los FPs se hace menor a medida que n crece. Y eso ocurre porque , como de cada VP se pueden deducir infinitos FPs ( entre ellos , p.e. sus potencias sucesivas), y está claro que la relacion FPs/VPs es creciente con n , con lo cual el   ∑2 VPs  resultará en alguna función inversa de los FPs ≤n , y  podríamos escribir una expresión en función de los FPs
                                    ∑2 VPs≈K´/φ(FPs≤n)                         2
Combinando ambos efectos, ∑1 and  ∑2, llegaríamos a una expresión genérica   que  podría tomar una forma como ( sin el ≤n  repetitivo ):
          ∑T=VPs ≈ ∑1 .∑2= β .( δ(n)/φ(FPs))                  3
 El aspecto esencial de esta expresión es que debe tomar en cuenta tanto el valor n en el numerador como el valor FP en el denominador. Notemos que  β  y las funciones  δ   y  φ   son desconocidas  e inexpresables exactamente mediante algunas conocidas, pues el proceso es en sí mismo discontinuo, discreto. Lo que históricamente ha ocurrido es que se han localizado  funciones  que se han demostrado  útiles, proporcionando resultados  aproximados, asintóticos.
Con  β=1   δ(n)≡n   y    φ(n )≡Ln(n),  sin usar FPs , resulta la clásica
                                VPs ≤ n ≈     π(n)=n/ln(n)                 4
Aprovechando este formato,  y adecuándolo a nuestro razonamiento anterior, intentemos sustituir, en primera instancia, el ln(n)  por nuestro  ln(FPs), resultando la expresión que sigue ,
                                        π   (n)≈n/ln(FPs)                 5
Pero no conocemos el valor de FPs  ni  ln(FPs) ,  aunque tal vez podríamos sustituírlo por una cota superior log(PGs) o su igual log (n/3), exacta,  si el error asumido resulta tolerable. Como ambos valores FPs y PGs resultan infinitos, con n→∞,  a medida que n crezca tal vez sea posible tomar un valor por otro. De hecho, de cada VP surgen infinitos FPs exclusivos , solo de sus potencias sucesivas, de modo que,  para valores n crecientes finitos, VP/FP decrecerá indefinidamente...
FP  +  VP   =   PG,   y tenemos, dividiendo ambos miembros por FP        FP/FP  +  VP/FP   =  PG/FP  , con      VP/FP → ϵ cuando n→∞                        Lo que nos permite suponer  PG/FP → 1  ó PG=FP a medida que n crece... Aceptamos, finalmente
            VPs≤n  →   π(n)≈n/ln(PG) ≈n/ln(n/3)                      7
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en diciembre 11, 2016, 04:32:18 am
Parte segunda, Fórmula general distribución de números primos

Citar autor y fuentes PMBERCEOOM ( diosoazar) CC

Tabulando la función (7) para valores n,  y comparando en principio  los resultados con los que produce la expresión clásica  π(n)=n /ln(n)  , se  observa una precisión muy mejorada , al menos en la gama de valores  calculados,  100<n< 6x10E6.  Para n<100,  con escasos  FPs, la 7 es menos exacta que 6, como se ha señalado, al no haber apenas FPs, recuperándose rápidamente.  Es difícil extender, como es lógico, la validez de este resultado numérico de mejora  a todo el campo ∞ de los VPs, pues los ∞ son de difícil manejo, pero la lógica de la influencia de los FPs crecientes respecto de los VPs nos obliga a creer que permanecerá válida en todo el campo N, mejorando a la clásica en los mismos órdenes o  o parecidos. Adicionalmente, propondremos alguna mejora menor, que acreciente la precisión de los resultados.
Las tangentes de las gráficas de los valores PG, FP y VP para abscisas n, ( crecimiento de los valores PG FP y VP) , y para valores de n≈≥100 , guardan entre sí la relación
                                   tg PG> tg FP >tg VP                             8
A pesar de los posibles éxitos ,  la aparición y frecuencia  de los primos VP en general no parece seguir ninguna secuencia expresable en términos exactos, lo que es lógico por tratarse de una secuencia discontinua, discreta , en la que los saltos son impredecibles y  variables paso a paso, VP a VP. Todo ello hace por ahora casi imposible determinar una expresión exacta y nuestra fórmula tampoco la es. Pero en el terreno de las  aproximaciones, que es el que guía muchos de los intentos en este asunto, consideramos que el término n/3 introducido en el denominador de la fórmula general π(n), tiene un primer apoyo lógico e interviene decisivamente mejorando la precisión de 4  a partir de n=100 aprox...
Propuesta :  como primer paso, asociar el valor N/3≈PGs   al denominador de la expresión clásica A que  quedaria de la siguiente forma, B,
         Π(n)= n / ln (n)      (A)      vs        Π(n)=n / ln (n/3)   (B)
Para determinar la eficacia del cambio, adjuntamos un resumen o tabla con las siguientes entradas, obtenida informáticamente :
     N           VPs<N        VP según A    errorA    VP según B     errorB
  ≥100                               Defecto          --            Exceso             +                   
7993         1000                883              117          1006                6
17401        2000              1782             21 8         2008                 8
104 759     10000            9062             93 8         1014               14
200201      18000          16400            1600         18022              22
249463        22000       20074           1946          22020               20
300073        26000        23793           2207         26063               63
506171        42000        38537           3463         42054               54
1006751      79000        72835           6165         79124             124
1511569     115000     106234           8766       115122              122
3497873     250000     232144         17856        250401             401
5487761     380000      353633        26367       380581              581
 
 Observando el error absoluto de ambas aproximaciones, se comprueba una mejora sustancial para nuestra propuesta  (B).

Aproximaciones notables. Sabiendo que el valor n/3 propuesto adolece de los defectos de cualquier cálculo empírico y aproximado, proponemos  utilizar  de  n/2.94  a  n/2.95 , que resultan  más exactos  que el  n/3,  en los valores de los intervalos de prueba, hasta al menos n= 6 x10E6.
                      Π(n)=n / ln (n/2.94)      a      n/ln (n/2.95)           (9)
Sería interesante comprobar la exactitud de este proceso para números n extremadamente grandes, donde sea conocido el  valor   FP  de nuestro denominador, recordando que n/3 es en realidad  PG y  n/2.9.. tan solo aproximaciones .

Existe un valor notable en el campo de los VPs.  Dado n, puede obtenerse el valor  JX=+√n/6     que marca una cota superior J  de  los menores VPs  generadores hasta n.
Asociando este valor a  (9) se obtienen expresiones que dan valores π(n)  mejorados, que compiten  con los obtenidos con integrales Li , al menos hasta valores n≤10.000,.000. 
                          π(n)=n/ln(n/(2.95)) + ln(JX)     (11) 
hasta  n                      VP              error VPs s/(11)               err.   VPs s/Li
 3377009                  242000                       72                              128       
4639289                   325000                     147                              175         
5007619                  349000                       92                              109     
7258109                  493000                       223                             157
En los cálculos realizados, se observa un paralelismo notable en las variaciones de los resultados de la (11) y los de Li ( desarrollada hasta exp=6), como si ambas expresiones obedecieran a un mismo esquema final aunque con diferente expresión matemática.
Nota final. Las (9)  y (11) pueden dar,  a veces , y con las prevenciones lógicas ligadas a  un cálculo informático , error=0, 1  en el pronóstico  π(n)  lo que constituye una agradable sorpresa y  puede ser un síntoma que guíe a otros en la búsqueda de la precisión total.
 Lucronium , 10-11-2016   PMBERCEOOM  CC  Citar autor y fuentes
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: cefas en diciembre 11, 2016, 10:47:29 am
Hola Deneb. He probado su (9), la {NP hasta n =n/ln(n/2.95)} en el intervalo 0<n<200000 y la fórmula ha logrado 2167 aproximaciones al número total de primos con error <1, o sea que ha acertado más de dos mil veces en el número de primos en ese intervalo, que son 18000. No conozco muchos detalles de otros métodos y expresiones, pero me parece notable... Ya me gustaría a mí , y a muchos otros, conseguir esa tasa de aciertos en las quinielas. Voy a probar la tasa de error <2... y han sido 4186 aproximaciones, que es casi exactamente el doble. Pruebo hasta error<10, y ya son 16444 aproximaciones de ese orden.
Y ya puesto, voy a probar éxitos de error cero , aunque como uso el Pc con abs e ints..., pondré error< 0.1, y obtengo 220 casos de aproximaciones por debajo de 0.1...
Respecto de la fórmula básica de su estudio, la del n/3 original, es un poco más modesta aunque fácil de recordar. Aún así, ha conseguido 151 aciertos por debajo del error <2.
Y en un cálculo resumen, para (5<n<506173) , su n/ln(n/2.95), ha conseguido 3633 pronósticos con error<1 en un conjunto final de 42000 primos. Animo a los expertos en el tema a examinar y criticar su estudio en lo que proceda.
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en diciembre 12, 2016, 02:54:58 am
Parte tercera:Conjetura de los primos gemelos. Propuesta de demostración.

Referencias: PMBERCEO OM   ( diosoazar.com )  CC citar autor y fuente

La Conjetura de los primos gemelos establece que hay infinitos pares de números primos separados por dos unidades o, lo que es lo mismo, infinitos pares de primos gemelos.
A continuación damos una demostración apoyada en la clasificación de los números primos en dos clases que venimos usando en las dos partes anteriores.
                     
CC. Citar autor y fuente PMBERCEO OM (diosoazar.com)

                                  Conjetura de los primos Gemelos

Parte I.-   Estructura y distribución de los Números Primos
Para no complicar demasiado el estudio con definiciones exhaustivas, llamaremos  aquí  Número Primo, al número natural ( entero positivo) solo divisible  exactamente por sí mismo y por la unidad, que no coincide exactamente con la definición del DRAE: “ Número entero * que solo es exactamente divisible por sí mismo y por la unidad”. Para este estudio , comenzamos eliminando del  conjunto [N] de los naturales, además del  uno,  el 2 y el 3 ( primos elementales) y sus múltiplos.  El conjunto resultante está formado por {5,7,11,13,17,19...}, números naturales  de dos clases,  6 j-1  y  6 j+1 , para todo j entero positivo ≥1 , que llamamos Primos Genéricos o PG, de expresión genérica  PG = 6.j±1.
[PG]={5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43,47,49,53,55,59,61,65,...}
[PG]=( 5=6x1-1,  7=6x1+1,  11=6x2-1,  13=6x2+1...............,31,35,37,41...).
 De ellos, unos son  verdaderos números primos, VP, y el resto, números compuestos o falsos primos,  FP , cada uno  de una u otra clase, +1 y -1.  Se muestran listados iniciales de algunos de dichos conjuntos:
[PG]=[VP] + [FP]=(5,7,11,13,17,19,...) + (25,35,49,55,65,77...)          (1)
[PG]=[PG+1] + [PG-1]=(7,13,19,25,31...,) +(5,11,17,23,29,...)             (2)
[PG]={ PG+1 } + { PG-1 }=  { [VP+1] + [FP+1] }  +  { [VP-1 ] + [FP-1] }     (3)  Para mayor sencillez, expresamos unión de conjuntos con + en vez de ∪.         
A su vez,  [VP]=[VP+1 ]+[VP-1]    y   [FP]=[FP+1]+[FP-1]        (4)      [VP+1]=(7,13,19,31,37,43, ...)         [ VP-1]=(5.11.17,23,29,41)                                     [FP+1] =(25,49,55,85, ...)                   [FP-1]=(35,65,77,...)

Propiedades:

P1.- En el conjunto [PG]  de cada clase , el valor j señala el ordinal que ocupa cada uno. Así, en la clase PG+1, el cuarto término será 6 x 4 +1=25 , el quinto será 6 x 5 +1 =31, etc . En PG-1, el 7º será 6 x 7 -1 =41, etc.

P2.- Para cada valor j existen dos PGs, separados por 2 unidades. Los  llamaremos Primos Genéricos Gemelos ( hay  infinitos,con j ). Asimismo, para un mismo valor j pueden existir dos VPs , que llamaremos Primos Gemelos, separados por 2 unidades. Ejemplos evidentes son 5 y 7, 11 y 13, 17,19... pero no  23,25, ni  35,37 etc . En la segunda parte, Conjetura, se intentará  demostrar que hay infinitos pares de Primos Gemelos.

P3.- [PG+1] es un conjunto cuyos elementos son los de una progresión expresable como  6j+1 , o su equivalente  7+6n ,  y el conjunto [PG-1] análogamenta, está formado por los términos de la progresión  6j-1 o su equivalente  5+6n.  Se consigue la equivalencia de  ambas expresiones  tomando diferente origen para las variables j, n:  j=(1,∞)  y  n(0,∞)             
( 6 j + 1 ) para  (1≤ j ≤ ∞)  ≡  ( 7 +  6  n)   para (  0≤ n ≤ ∞) ≡ 7,13,19..              ( 6 j – 1 ) para  (1≤ j ≤ ∞)  ≡  ( 5 +  6  n)   para (  0≤ n ≤ ∞) ≡ 5,11,17...      (5)

P4.- Los VPs y FPs de cada clase  pertenecen a los respectivos conjuntos PG de cada clase (3), y como tales son los términos de las citadas progresiones.

P5.- Los valores FP ( números compuestos, falsos primos ), se originan desde los productos y potencias enteras de valores VP, respetando las reglas del producto algebraico entre dichos factores,  6j+1 y  6j-1.
   Procedimiento de Generación de FPs separados en clases +1 y -1
Todos sabemos que el proceso seguido en la tabla de Eratóstenes no distingue entre  clase +1 y clase -1.  Hallemos los FPs separados en ambas clases, generando todos los FPs posibles separados por su clase,  obteniendo su distribución separada a lo largo de cada una de las dos clases de PGs.  Los generamos desde cada uno de los VPs , obteniendo todos sus múltiplos en cada clase. Para cada VP1 empezamos generando los dos menores FPs asociados a él  mediante dos productos binarios, uno consigo mismo , su cuadrado,  siempre de clase +1, y el otro con el siguiente VP2>VP1 ,  de la clase opuesta, siempre de clase -1..
Ejemplo. Desde  VP1=5, dos FPs inmediatos:  uno (FP1) de  clase +1, 5x5=25 y otro, (FP2),  de clase-1, 5x7=35, siendo 7 el VP2>VP1 más próximo. Recordamos que  un  FP producto de dos PGs de la misma clase es otro PG de clase+1 y  si son de distinta clase, de tipo -1.
A partir de ese par de FPs iniciales, FP1 y FP2, de cada clase, hallaremos y señalaremos los demás FPs múltiplos del VP1,  mediante el :
“Teorema de las series de FPs:  Se verifica que, para todo PG1=6 . j ± 1,  los sucesivos PGs obtenidos desde él mediante  la serie  PGS=6 ( j + n . PG1) ±1,  para todo n natural , son Falsos Primos,  múltiplos de VP1 e infinitos, con n. En efecto:                           PGS= 6(j + n . PG1)±1=6j ± 1+ 6n. PG1= PG1 + 6n . PG1=PG1 (1 + 6n), ( 0< n < ∞)  (6)
Por lo tanto, para todo VP1, que siempre es PG, y situándonos en los dos primeros FPs, ( FP1 y FP2) generados, uno en cada clase, bastará recorrer cada clase de PGs  con una cadencia igual al valor VP1 y , de acuerdo con (6), señalar como FP los valores afectados, hasta el infinito.
Así, para VP1=5 son, FP1=5x5=25 y FP2=35 en cada clase, y cada 5, señalamos:       Clase +1:  7  13  19  25* 31  37  43  49  55*  61  67  73  79  85*  91  97  103                Clase -1 :  5  11  17   23  29  35*  41  47  53  59  65* 71  77  83 89  95* 101
Ejemplo 2º . Dado VP1=7,  FP1=7 x 7 = 49, y FP2=7 x 11=77,                                       Serie+1 : 7 13 19 25 31 37 43 49* 55 61 67 73 79 85 91*97 103 109 115 121 127 133*  y serie-1:  5 11 17 23 29 35 41 47 53 59 65 71 77* 83 89 95 101 107 113 119* 125 131”
Iniciado el proceso, no es preciso  considerar valores ya señalados como FP por VPs anteriores , y así, con VP1=7, el valor FP= 35  , aunque múltiplo de 7, ya está señalado como FP desde el VP0=5 < VP1 ,  factor primo de 35, y no es necesario ocuparse de ellos , que ya están  señalados desde secuencias anteriores. A medida que avanzamos en la tabla, igual que con la de Eratóstenes, los valores remanentes, menores,  a la izquierda del VP1 de turno, son ya verdaderos primos hasta infinito.

Una curiosa consecuencia de lo anterior:  Dado un PGF final de cálculo, desde cada VP1 hasta PGF hay dos intervalos en los que señalar FPs: En clase +1, {VP1xVP1, PGF }, y en la clase -1  , {VP1xVP2, PGF}.   Como    (VP1 xVP1,PGF,+1 ) > { VP1xVP2,PGF,-1 ), es más probable, con la misma cadencia VP1, obtener más FPs en el intervalo mayor, clase +1, que en el menor, clase -1.  Esta ventaja de los FP+1, es nula o mínima en los primeros VP1, pequeños ,  y dependerá luego, en gran parte,  de  (VP2-VP1)  así como de la distribución de los propios  VPs de una y otra clase. Por eso la  evolución de esa diferencia será muy variable , con grandes oscilaciones aunque creciente en promedio con los VP1.Ver tabla.
Corolario: Como el total de PGs de ambas clases  es el mismo,  [PG+1]=[ PG-1] hasta el PGF final considerado , y  los términos VP y FP de cada clase son complementarios, la mayor aparición de FPs de una clase supone la disminución de los VPs correspondientes de la misma , de modo que, habiendo más FPs de clase +1, habrá menos términos VP+1 de esa misma clase, hasta el PGF final considerado, si PGF no es demasiado pequeño (≈<230), y por lo tanto:
    En general,  DIF = VP-1 – VP+1  ≥ 0,  y DIF , en promedio, creciente con n .
Esta propiedad es de comprobación inmediata y por medios informáticos: Ejemplo:
En n=93229, hay 31076 PGs,9001 VPs,(4488 VP+1, 4513 VP-1),11050FP+1y 11025FP-1,  datos obtenibles informáticamente. Ver DIF= VP-1- VP+1= 25.  Sigue tabla
Hasta n        VPs               VPs-1             VP+1            DIF               
    101            24                  13                    11                1                 
    499           93                   48                     45               3                 
1001            166                   86                   80                6                   
41521        4341               2176               2165             11                 
99991        9590                4806              4784              22                 
200227    18001               9006              8995              11
800599   64001              32054            31947           107
1062557  83001             41535           41466             69

                                *************************









PARTE II.-     CONJETURA de los Primos Gemelos
Existen infinitos pares de primos gemelos. Demostración.
Hemos visto en P3, (5), que las dos clases de  Primos Genéricos, PG+1 y PG-1, por su propia definición, son  sendas progresiones aritméticas de primeros términos  5 y 7 y una misma diferencia  d=6 , que podemos expresar como,  PG+1 = 7 + 6 x n    y    PG-1 = 5 + 6 x n  ,   para  ( 0 ≤ n ≤ ∞) ,  con diferencia= 6  y  constantes coprimas entre sí , ( 7 ,6 ) y ( 5, 6). Según el teorema de Dirichlet sobre progresiones  de este tipo, (a +b.n ),  en cada una de ellas hay infinitos números primos. Esto demuestra que hay infinitos VPs de cada clase, VP+1 en PG+1 y VP-1 en PG-1.
La diferencia entre dos VPs que tengan el mismo  valor n será constante e igual a 2. Luego dos VPs de la misma n, serán primos gemelos. Ejemplo    (7 + 6 n` ) – ( 5 +6 n` ) = 2.  Por lo tanto:
A.- Se cumple la condición  necesaria para la existencia de infinitos pares de primos gemelos, pues hay infinitos números primos disponibles de ambas clases.
B.- Aún podríamos plantearnos una dificultad para la formación de pares de primos gemelos. Que a partir de cierto valor VPZ de una u otra clase, se cumpla esta regularidad:  Para todo VP>VPZ , su gemelo es un valor FP.
Pero sabemos que :  La primalidad ( ser VP ó ser FP ) de cualquier PG depende de los VPs<PG  ( cuyos productos pueden señalarlo como FP) , y por lo tanto es esencialmente variable a lo largo del conjunto [PG], a causa de la aparición de nuevos VPs de ambas clases ,  lo que resulta  incompatible con la regularidad  citada.
Reforzando, si fuera preciso, lo anterior, y según vimos en P5 , la generación separada de FPs desde un VP1, en cada clase, es independiente de la generacion en la otra clase ,  pues cada serie  se inicia desde diferentes valores con una cadencia VP1, prima. Las sucesivas generaciones de FPs desde nuevos VPs siguen caminos análogos, siempre desde distintos  orígenes y nuevas y distintas cadencias  primas  .  No existiendo, por tanto, una relación estable entre los procesos de ambas clases, la supuesta regularidad carece de fundamentación.
Por lo tanto, : Existen infinitos pares de primos gemelos.
CC.  PMBERCEO OM  (diosoazar.com)  citar autor y fuente
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en enero 03, 2017, 12:32:41 pm
Otra Conjetura acerca de los números primos

Conjetura :  Hay infinitos primos del tipo  2^n-1.

Previos: Si eliminamos del conjunto [N] el  1,2,3 y sus múltiplos, el remanente es un conjunto que contiene infinitos números  , expresables como 6 j+1 o como 6j -1, a los que llamamos primos genéricos ( PGs), entre los cuales se hallarán todos los verdaderos primos, que expresaremos como VPs.   Disponemos de infinitos candidatos a VP, como podemos ver: Candidatos: 5,7, 11,13, 17,19, 23,25,... un par para cada j, unos primos y otros compuestos. Veamos,  de esos candidatos PGs,  los que cumplen la conjetura, ser  2^n-1  y ser  VPs.
Tipo  6 j +1
Si hay primos VPs de este tipo, 6j +1, debe cumplirse   2^n-1 = 6 j+1,  que equivale a  la igualdad  2^n-2 = 6j,  de donde   j=(2^n-2)/ 6 =  (2^n-2)/2 . 3 = (2^(n-1)-1)/3   (1).  Examinando (1), vemos que hay infinitos casos, variando n,  en los que esta fracción pueda ser  múltiplo de 3 y produzca un j entero y, con ello, un PG+1, primo o no.
Como en (1) hay infinitos términos, tomando el  n adecuado , hay infinitos números enteros  PG+1 candidatos ... y si  tenemos  infinitos candidatos, hay infinitos VPs del tipo 6j+1 , o sea VP+1, sin tener en cuenta los valores 1,2 y 3. Recordemos que hay infinitos VPs de cada tipo (s/ Dirichlet, demostración  de la  conjetura de primos gemelos del mismo autor). No obstante, aún  siendo infinitos, muchos VPs+1  ordinarios no son  del tipo 2^n-1, de modo que los que cumplen la conjetura son muchos menos , si no nos posicionamos en el infinito... Así, son VPs+1 los números 7,13,19,31,37,43... pero de ellos son valores propios de esta conjetura, tan solo  los siguientes:  7 y 31, 7=2^3-1 =8-1  y 31=2^4-1=32-1 y después los  siguientes serán  el 127 y 8191 , muchos menos que los VPs ordinarios. Pero como disponemos de tantos n para exponentes, siempre se podrá buscar el siguiente...

Tipo 6j-1
Siguiendo el mismo procedimiento , deben  ser  2^n-1= 6 j -1, lo que equivale a
2^n=6j, que para j entera debe ser   j=2^n/3  entera. Pero eso es  imposible.
Luego no hay ningún posible PG-1 candidato y por tanto ningún primo de tipo 6j-1 .
Conclusión:  La conjetura es cierta, pero solo para los VPs de tipo 6j+1
Hay infinitos primos de tipo 2^n-1,  pero todos son del tipo 6 j +1  ( 7,31,127,...)
Tabla: E=3, PG=2^3-1=7;   E=5, PG=2^5-1=32-1=31;   E=7, PG=2^7-1=127;   E=13,PG=8191
(VP)
Logroño 3 de enero de 2017
Citar autor y origen CC
PMBerceo OM  ( diosoazar)
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en enero 04, 2017, 02:42:30 am
Un comentario sobre la demostración anterior: Como la expresión general del número analizado contiene potencias crecientes de 2,  2^n-1 se hace rápidamente tan grande que es prácticamente imposible dar ejemplos con valores de n que podemos considerar normales, como n=100000, por ejemplo. ( M=2^100000; log (M)=100000. log (2)= 100000 . 0.301030=30103; M tiene aprox. 30103 cifras enteras, unas cuantas páginas completas para un solo número). Por eso los ejemplos que se aducen son tan escasos, pues enseguida manejamos números enormes.Por ello, hemos de manejarnos con conceptos más que con ejemplos.
Y aunque el número de valores 2^n-1 que sean primos es mucho menor que los valores n primos, sin embargo, como disponemos de infinitos candidatos a primo de la forma 2^n-1 ( el tamaño no importa), y todos esos candidatos son a la vez valores PG... , por pequeña que sea la fracción de ellos que sea VP, sabemos que cualquier fracción>0 de un infinito es a su vez infinito...
Por ejemplo, si en el conjunto de los VPs me quedo con uno de cada mil trillones, hay tantos que , al final, también tendré infinitos. Es lo bueno de manejarse con infinitos:  aunque no sepamos en realidad por qué ocurre lo que ocurre, por lo menos nunca faltan suministros. :)
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en enero 04, 2017, 02:32:37 pm
El mismo procedimiento podemos aplicarlo a la conjetura de que entre los números 2^n +1 hay infinitos primos. Lo que ocurre en este caso es que los VPs serán ahora del tipo VP-1=6j -1 . Luego podemos afirmar que en ambos casos hay infinitos VPs. Los primeros casos serían:
Exponente E=1  n=3, E=2 n=5,  E=4  n=17, E=8 n=257, E=16 n=65537 , ( salvo el 3, son VP-1)

PMBERCEO OM (diosoazar) CC
citar autor y origen
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en enero 10, 2017, 01:00:33 pm
Para quienes desean estudiar o analizar la demostración de la conjetura de los primos gemelos, que puede parecer un tanto larga, presento en unas pocas líneas el resumen del camino seguido, a fin de que pueda ser mejor comprendida y, en su caso, discutida.

                             ABSTRACT. RESUMEN de la demostración
Se empieza ordenando los números candidatos a primos ( los Primos Genéricos, PG ) en dos clases : los 6j+1 y 6j-1 para todo j entero. ( PG+1 y PG-1)
Se identifican ambas clases con sendas progresiones aritméticas de diferencia 6 y constantes coprimas 5+6 n  y  7+6 n .
A continuación se examina el modo en que, en ambas clases, se producen los falsos primos o números compuestos ( FP). Los números restantes serán los verdaderos Primos ( VP)
Se aplica el Teorema de Dirichlet sobre ese tipo de progresiones, que contienen infinitos primos.
Se demuestra así que hay infinitos primos de cada clase y que pueden formar pares.
Finalmente, se deducen las condiciones suficientes y necesarias para la existencia de infinitos pares gemelos.

citar autor yorigen
PMBERCEO OM  (diosoazar) CC
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en enero 15, 2017, 01:01:20 pm
Sobre las conjeturas de las infinitas parejas de primos separados por valores 2n.
Con el mismo sistema y procedimiento, una vez demostrado (ver conjetura de primos gemelos) que existen infinitos números primos VPs de cada clase, 6j+1 y 6j-1, y que su distribución a lo largo del campo de los PGs de cada clase sigue procedimientos independientes, también resultarán infinitos los posibles pares de primos cuya diferencia entre ellos sea múltiplo de dos. El mismo razonamiento empleado para la conjetura de primos gemelos es válido para cualquiera de estos supuestos sin más que sustituir 2 por 2n.
PMBERCEO OM  (diosoazar.com)
CC citar autor y fuente
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en enero 08, 2018, 04:19:54 am
Los Reyes Magos me dejaron el sábado varios regalos, seguramente por haber sido poco malo durante 2017. Uno de ellos era un sencillo sobre , con unos apuntes , de un paje imaginativo del séquito de Gaspar, que decía:
" Hola Deneb. Los números primos, para ser primos, deben comportarse como los humanos para ser primos. Para que yo sea primo, debo tener tíos, al menos uno, que haya tenido hijos, lo que supone que mis padres hayan tenido algún hermano... etc . En definitiva, que ser primo de alguien no supone ningún mérito personal, sino que depende de los méritos o errores de los demás. Análogamente, eso que llamas primalidad ( los pajes reales tenemos Pcs y leemos diosoazar.com ) , depende o es función de los números primos menores que el n considerado. Así que te sugiero que no sigas volviéndote loco buscando en el número alguna característica que lo identifique como primo...
Esto es un regalo no oficial, pues no lo ha visto Gaspar, mi jefe, así que sé discreto . Un abrazo. Matmat el Diligente ,  Paje de Segunda Clase del Rey Mago Gaspar".
No he sido discreto, como bien se ve, pero no creo que el gran jefe Rey Mago Gaspar se dedique a leernos. Bastante tiene con controlar cómo se portan, durante todo un año, los niños a su cargo, esos locos bajitos que no se están completamente quietos ni cuando creemos que están dormidos...
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en mayo 14, 2018, 03:13:12 am
Para aficionados a calcular o buscar solidariamente números primos inmensos, de esos que necesitan miles de días de cálculo de estos PCs de ahora, existen movimientos , equipos  de calculadores que permiten asociarse a ellos y compartir  potencia de cálculo para , entre todos, descubrir primos progresivamente mayores. La ventaja gloriosa del asunto es que la gloria del descubrimiento, el premio, se lo lleva el Pc que lo alcanza... en el equipo de trabajo, y en ese momento final. Se puede probar en sitios como Great Internet Mersenne Prime Search y, si hay suerte, ser un descubridor de algún primo de treinta millones de dígitos... que necesita unos diez años para ser escrito, a una cifra por segundo.
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: cefas en mayo 16, 2018, 03:39:06 am
Los buscadores de primos rebuscan entre números especiales, como son los números de Mersenne, que son los que se expresan como Mn= 2E·n-1, por ejemplo M2= 2E2-1=4-1=3. En ellos se cumple que si son primos, resulta que n también lo es,de modo que solo se busca entre los que tienen ese valor n primo... Así que, si n no es primo, por ejemplo si n=4, el M4 es 2E4-1=16-1=15 que, obviamente, no es primo... Por eso, se busca si es primo Mn solo para valores n primos, que resulta menos pesado que ir buscando un valor tras otro. Digamos que esos Mn resultan "sospechosos" y por eso mismo, candidatos a primos grandes. Curiosamente, todos ellos resultan ser PG, según nuestra clasificación, como no puede ser de otro modo..

Título: Re:Numeros primos
Publicado por: cefas en julio 06, 2019, 10:50:42 am

Uno de los asuntos o conjeturas matemáticas sobre números primos que siguen sin resolverse es el que llamamos “conjetura débil de Goldbach”, que dice : cualquier número impar mayor que 5 puede expresarse como la suma de tres números primos.  35 = 19 + 13 + 3 o 77 = 53 + 13 + 11
Esta conjetura podría llamarse la hermana pequeña de la conjetura mayor o fuerte del mismo autor..., que a su vez dice: todo número par mayor que 2 es la suma de dos primos.
La versión «fuerte» de esta conjetura, bautizada así también en honor a Goldbach  fue en realidad de Leonhard Euler:  todo número par mayor que 2 es suma de dos primos. La versión débil quedaría automáticamente demostrada en caso de validarse la fuerte: para escribir un número impar como suma de tres números primos, basta restarle un primo y luego aplicar la versión fuerte al numero par resultante.
La validez de ambas afirmaciones ha sido verificada por medios informáticos hasta donde se ha podido con los Pc actuales. A mayor número, más probable es que ambas conjeturas se cumplan… Por ahora, no se conocen excepciones.
Un bonito sudoku mental para las tardes aburridas de este caluroso verano de la mitad norte del mundo mundial... o las del invierno sureño.
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: petrusdoa en octubre 11, 2019, 01:39:18 pm
Con permiso de Deneb, voy a tratar de una clase nueva de primos. Primo en español es, en primer lugar, el parentesco que existe entre hijos de hermanos. Figuradamente, también se usa para designar a alguien que ha sido o al que es fácil engañar. A estos primos me refiero ahora. Esta mañana, un especialista en tratamiento de primos humanos , hablando de la economía de cierta entidad señalaba que en los últimos tres años se había producido un crecimiento medio del 2%. Hasta aquí, parece que no hay nada que objetar y que, creyéndole, no manifestamos nuestra propensión natural a ser primos. Craso error. Cuando ciertos profesionales poco escrupulosos y sus afines, no encuentran satisfactorios ciertos datos, a menudo se las arreglan para condimentarlos y  mezclarlos y así, convenientemente aderezados, servirlos al público como se sirve al cliente en los malos restaurantes comida pasada saturándola de sal y especias... Todos sabemos que la media aritmética se obtiene como cociente de la suma de varios datos entre el número de éstos. Supongamos que tenemos una inflación anual desde hace tres años del 12, 5  y 1%, con media=18/3=6% , un promedio preocupante. Si la distribución hubiera sido 1, 5 y 12% se tendría la misma media pero ya empezamos a notar la diferencia... que es que en ese segundo caso vamos a peor. En el primer caso, la situación fue mala pero mejora y en el segundo empeora y estamos en grave peligro. Pues bien, el primo auténtico, cuando oye la noticia económica trufada  no se entera y cree que la cosa no va tan mal como dicen algunos. El no primo, especie poco común en algunos países, oye el 6% pero con el filtro que le proporciona su saber pensar lo examina más a fondo y percibe rápidamente la falta de información en el dato.
Estando al borde una situación de posible crisis económica, como le ocurre ahora a muchos países, el dato inicial del 2% oído esta mañana puede esconder la intención de enmascarar la situación actual de ralentización rampante, trufándola ( la trufa lo trufa casi todo) bajo el paraguas de la media. Este tipo de ataques a la capacidad filtrante de la mente del primo es mucho más frecuente de lo que sospecha el ciudadano común. La información suele servirse de manera que proporcione al emisor el mayor beneficio posible. Es una manera discreta de mentir, que parece rentable, que apenas se nota,  y que no se yo si se oirá mucho en los confesionarios. Y como guinda del pastel (trufado) recuerdo a cierto presidente que anunciaba sonriente a todos sus conciudadanos primos que su país había experimentado un crecimiento medio, durante el último período, del menos dos por ciento ( pronúnciese la palabra menos casi inaudible, como si no tuviera vocales ) .
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en febrero 08, 2021, 11:45:10 am
No recuerdo si ya lo hemos tratado en los posts anteriores, pero esta tarde he vuelto a pasar un programa que representa o grafica los números primos hasta donde la potencia del Pc y mi paciencia lo permiten , o sea para algo así como los primeros 50.0000 primos sucesivos. Las condiciones de la gráfica que he usado han sido las siguientes: 1ª.- Variable principal  los enteros n. Cada primo hallado se representará en amarillo si es del tipo 6n+1 y en rojo si es del tipo 6n-1, y 2ª.- Sus coordenadas en pantalla serán polares, con argumento en radianes @ igual al valor del primo y radio vector R  igual a su valor numérico. x=R * cos(@) , y=R*sin(@). SI se usa una escala para R de modo que podamos representar un número suficiente de puntos en nuestra pantalla, hasta valores altos, podemos hacer R=N/200, por ejemplo, y se obtendrá una gráfica bastante representativa de hasta casi 100.000 primos, muy curiosa, en amarillo y rojo, un aparente galimatías de puntos aparentemente aleatorios, pero que, si se observa, presenta una curiosa disposición semejante a una galaxia espiral de dos brazos, que se mantienen visibles en sus primeros desarrollos, desdibujándose después a través de una maraña de figuras en las que aparecen diseños infinitamente variables. En todo momento, si se quiere graficar, se puede constatar que los 6n-1 son más numerosos que los 6n+1, como ya demostramos, y que hay una franja espiral oscura que separa ambos brazos "galácticos" en dos familias o subespecies , que debe obedecer a algún parámetro oculto en nuestras definiciones... Esta puede ser una actividad muy entretenida para una tarde de pandemia global  ( única en la historia), mientras las autoridades, con buen criterio, nos obligan a permanecer  más o menos recluidos en nuestras cavernas actuales, tan anodinas y paralelepipédicas. Si este año fuera el 20.000 a.d.C., en las paredes de mi caverna, fresca y húmeda, y en alguna de sus paredes ad hoc, las menos arrugadas,  el deneb de la época garabatearía con su pc de sílex alguna imagen referida a lo que este post contiene, algo que, sin duda, les resultaría  difícil de interpretar a quienes no fuéramos nosotros, allá dentro de 221OO años... Los sabios de la época tal vez dirán que alguien intentó plasmar la belleza de Andrómeda tal como era visible entonces, un época de cielos límpidos y de hielos azules ...¡ Animo , queridos trogloditas del siglo XXI, que aún nos quedan muchas cosas que descubrir sobre cualquier tema, incluso tan aburrido como los números primos ! Y de paso, rezad una oración para que la pandemia se aleje de nuestras y vuestras familias !
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en febrero 09, 2021, 11:37:39 am
Siguiendo con el tema de la grafica, he investigado si su existencia puede ser debida a algún parámetro del elemento n en 6n+-1 que caracteriza a los primos. Primeramente he diferenciado los n pares de los impares,  pero la gráfica señala una ligera ventaja de los n impares ( 50 cuando n=27.000). Recordemos que los primos -1 son más numerosos que los primos +1. El segundo parámetro considerado es el hecho de que n sea primo o compuesto. La gráfica tampoco señala nada especial, salvo que los valores primos de n producen menos primos que los valores pares, pero esto es algo lógico , ya que existen muchos más valores de n compuestos que primos... Hay otra característica recién descubierta en la gráfica: cada una de las dos ramas giratorias que generan nuestra "galaxia de primos" se compone de diez líneas curvas casi paralelas ( ni una más ni una menos), a lo que tampoco encuentro justificación por ahora. He intentado incorporar los ficheros gráficos, pero las limitaciones de bytes del sistema parecen impedirlo, también por ahora.
Título: Re:Numeros primos
Publicado por: deneb en febrero 09, 2021, 11:53:36 am
El gráfico incorporado ( por fin) al post anterior representa los números primos hasta el valor 35543 alcanzado en el momento de la captura, y que aparecen en la vista, los de tipo +1 y -1 de distinto color, amarillo y rojo  siendo los de tipo -1 algo más numerosos ( 27). Las coordenadas polares utilizadas se basan en su valor absoluto N, con radio vector N y argumento en radianes también  N,  pasando a  x= n cos (N) , y=n sin (N) Observen la forma de la gráfica, formada por dos brazos espirales que se enroscan separados por la intrigante (por ahora) falla vacía o negra central...  Creo que esta gráfica no ha sido dibujada hasta ahora, probablemente. He llegado hasta el 99999 ( no tengo un superordenador ) y usado Basic adaptado a 64bits, precario). Se admiten corrección de errores y sugerencias.