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Teorema de la Asimetría de los números primos: Parte I
Previos: Para simplificar el estudio de los números primos en general, comenzamos separando del conjunto N de los naturales, además del uno, el 2 y el 3 ( primos elementales) y sus múltiplos. El resto está formado por números naturales de dos clases, 6 j+1 y 6 j-1 , siendo j entero positivo, y los denominamos Primos Genéricos o PG, en los que centraremos el estudio.. De ellos, unos son verdaderos números primos, VP, y el resto, números compuestos o falsos primos, FP , todos de una u otra clase. [PG]=[VP]+[FP] . Los dos Vps de una misma j, se denominan primos gemelos.
[PG]=(VPs+1) + (VPs-1) + (FPs+1) + (FPs-1)= 5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,41... [VP]=5,7,11,13,17,19,23,29,31 [FP]=25,35,49,55,65... con [PG+1]=7,13,19 ... [PG-1]=5,11,17,19,25 ... [VP+1]=7,13,19,31 ... ]VP-1]=5.11.17,23,29,41... etc, etc
En la serie de PG de cada clase, el valor j señala el ordinal que ocupa cada uno. Así, para j=1, tenemos 5 y 7, para j=2, el 11 y el 13 y así sucesivemente. Comprobamos asimismo que los números primos, VPs , y los compuestos , FPs, está distribuidos en dos clases, la clase +1, 6 j+1 y la clase -1, 6 j-1. Ejemplo. El VP=127 siendo 6 x21+1 es de clase +1 y ocupa el lugar 21º en la serie de PGs de su clase, siendo su gemelo 6 x21 - 1=125, claramente FP.
Mediante productos entre los VPs de la misma o distinta clase se pueden formar todos los números compuestos o Falsos Primos, FPs. ( ya eliminamos los pares y los múltiplos de 3).
Demostraremos que los números primos VPs no están repartidos en el mismo número entre las dos clases VP+1 y VP-1 en que se distribuyen. De hecho, veremos que hay más números primos VPs, de la clase 6 j-1 que de la clase 6 j+1 , y esa diferencia (DIF) entre ambas , VP-1 – VP+1 es ilimitadamente grande , DIF -> infinito..
Tesis: Hay más VPs-1 que VPs+1.
Demostración . Comenzamos realizando y analizando la distribución de los FPs a lo largo de las dos clases de PG, de un modo parecido, no igual, a lo que realiza la Tabla de Eratóstenes. Tomamos cada uno de los VPs de cada serie, y generamos sus FPs asociados, mediante productos con los demás VPs de la misma o de la otra serie. Para nuestro propósito, en primer lugar , nos fijaremos en los primeros términos FP que se generan en ambos casos. Dado un VP1, puede formarse de inmediato un FP de cada clase con sendos productos : uno consigo mismo, su cuadrado, y otro con el primer VP2>VP1 de la otra serie. En el primer caso, se origina un FP de clase +1 y en el segundo, de clase -1. Ejemplo. Dado el VP1=7, forma dos FPs inmediatos: uno de clase +1, 7x7=49 y otro de clase-1, 7 x11=77, siendo 11 el VP2>VP1 más próximo. Recordamos que el producto de dos PGs de la misma clase es otro PG de clase+1 y si son de distinta clase, de tipo -1.
Teorema previo de las series de FPs:
Se verifica que, para todo PG1=6j±1, los sucesivos PGs obtenidos desde él mediante la serie PGS=6 ( j + n x PG1)±1 , para todo n natural , son Falsos Primos, múltiplos de VP1 e infinitos, con n. En efecto:
PGS= 6(j+n.PG1)±1=6j±1+6n PG1= PG1 +6n.PG1=PG1 (1+6n), ( 0< n < ∞) (1)
Corolario : Para todo VP1, de una u otra clase, podemos obtener un primer FP de cada clase, generando desde VP1 de la forma siguiente: Primer FP+1=VP1 X VP1 , y primer FP-1= VP1 x VP2 , con el primer VP2 de la otra clase y >VP1. Y a partir de ambos valores, cada VP1 términos, tendremos los sucesivos FPs, aplicando (1).
Por ejemplo, el proceso (1) para VP1=5 es, FP+1=5x5=25 y FP-1=35 en cada clase, y:
Clase +1: 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97 103
Clase -1 : 5 11 17 23 29 35 41 47 53 59 65 71 77 83 89 95 101
Ejemplo 2º . Dado VP1=7, FP1+1=7 x 7 = 49, y FP1-1=7 x 11=77
Aplicando el teorema de las series de FPs (1) , señalaríamos como FPs a los términos iniciales, 49 y 77 y todos los siguientes con una cadencia de 7=VP1. O sea:
Serie+1 : 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97 103 109 115 121 127 133 139
serie-1: 5 11 17 23 29 35 41 47 53 59 65 71 77 83 89 95 101 107 113 119 125 131
Una vez iniciado el proceso, no es necesario utilizar los valores ya reconocidos como FP por VPs anteriores , y así, con VP1=7, los valores como 25, 35,55,65 etc , ya están señalados como FPs desde el VP1=5 y no es necesario preocuparse por ellos, aunque alguno, el 35, sea a su vez múltiplo de nuestro 7. A medida que avanzamos en la tabla, igual que con la Eratóstenes, los valores que permanecen como VP a la izquierda del VP1 de turno son ya verdaderos primos... Así, pues:
Para todo VP1, ( p.e. 5...), los infinitos FPs generados ( sus múltiplos) se distribuyen de la siguiente forma en las series de PGs de cada clase :
En la clase +1, son FP, a partir de su cuadrado VP1 x VP1 ( 25) , cada VP1 (5) términos de dicha clase. Los cuadrados siempre son de clase +1. En la clase -1, serán FPs , a partir del producto con el VP siguiente de la otra clase, VP1 x VP2, (5 x7=35 ), todos los términos con la misma cadencia, 5=VP1. Ver subrayados en ejemplos anteriores.
Retornando al teorema principal, vemos que este proceso de aparición de FPs presenta una característica especial. En cada proceso y para cada VP1, la clase +1 es la primeramente afectada, puesto que (FP1=VP1 xVP1) < (FP2=VP1xVP2), y con ello, el intervalo disponible para aparición de FPs resulta mayor para los de clase +1, pues empieza antes y termina, para cada caso propuesto , en el mismo valor final. Además, a medida que los VPs se vuelven más escasos, y con ello crece la diferencia entre VP2 y VP1, crece aún más la diferencia entre los iniciales FP2 y FP1, de modo que es mucho más probable que en dicho intervalo { FP1, FP2} aniden más FP+1.
(Sigue parte II en siguiente post)
