Sigamos con los primos.
Loque sigue podría llamarse Teorema de la distribución de los números primos
1.- Todo número PG ( primo genérico ) de tipo 6k+1 ó 6k-1 es candidato a primo, o sea que todo primo es de uno de los dos tipos, por ejemplo el 37= 6*6+1 y el 59= 6*10-1 y son dos verdaderos primos VP, y se quedan en solo candidatos o falsos primos FP otros como el 35=6*6-1 o el 91= 6*15+1.
El conjunto FP and VP forman el conjunto de lo que llamamos primos genéricos PG
PG = VP and FP
2.- Todo FP tiene como factores, al menos , a dos PG. Ejemplos: 35=5*7 , 91= 7*13 , 25=5*5 , 125 =5*5*5 , 385=5*7*11,...
Recordemos que al crear el grupo de los PG hemos eliminado los factores 2 y 3 y sus múltiplos.
3.- Formemos el conjunto de los PG separando en dos filas los de cada tipo +1 y -1
+1 7 13 19 25* 31 37 43 49* 55* 61
-1 5 11 17 23 29 35* 41 47 53 59
marcamos con * los falsos primos FP. Los demás son VP, verdaderos primos.
Observamos cómo se mezclan primos VP con falsos primos FP y cómo éstos siempre proceden del producto de algunos VP situados a su izquierda...
Colocamos ahora el factor K por el que se multiplica a 6 en cada caso, de modo que podamos localizar a cada número por este k y su tipo. Así, si un numero PG tiene k=8 y tipo -1 será
6*8-1=47
y el número 49 tiene ese mismo K pero tipo +1 ,
valores de k 1 2 3 4 5 6 7
tipo +1 7 13 19 25 31 37 43
tipo -1 5 11 17 23 29 35 41
y ahora nos formulamos la pregunta clave de este tema ¿ Hay el mismo número de verdaderos primos de cada tipo o hay más de uno que de otro?
El sentido común nos dice que debería haber el mismo número de cada tipo, existir una simetría , ya que no parece haber ningún motivo para diferenciar unos de otros... pero tal vez la operación producto que liga los FP con los VP 35FP = 5 VP * 7 VP y que 5 y 7 sean del mismo o diferente tipo tengan influencia en la respuesta.
Para responder a esta cuestión, tomemos k=1 y k=2, los 4 primeros números PG, y formemos un conjunto que llamaremos A con { 7 13
5 11 }
y veamos qué efecto producen estos cuatro al combinarse entre sí para producir falsos primos y machacar las posibilidades de otros números potencialmente primos. Vemos inmediatamente que el 35 será FP pues es el producto 5*7, el 169 es el producto 13*13 ... y así, estos cuatro PG van a causar una serie de falsos primos en las series de la lista...
los falsos primos se originan por:
a.- el producto interno entre la serie de los +1, 7 y 13 7*13=91
b.- ídem -1, 5 y 11 5*11=55
c.-el producto mixto de los de una serie por los de la otra , 5*7, 5*13, 11*7,11*13
d.-los valores de los cuadrados de todos ellos 5*5, 7*7, 11*11, 13*13
los productos de a , serán del tipo +1, aquí solo hay uno, el 7*13=91
b , +1 ( comprobar) 5*11=55 = 6*9+1
c , -1 " 5*13=65 = 6*11-1
d, +1 " 11*11=121 =6*20+1
¿ Cuántos se producen a partir de esos cuatro, calculando tomando a k como variable , aquí k=2 ?
de a: combinaciones de 2 tomadas de 2 en 2....= K ( k-1)/2
de b: igual que a sumando a + b, a+b=k2-k
de c: k*k= k2
de d: uno para cada valor = 2k
en total tenemos un conjunto de nuevos valores, todos de las listas de PG anteriores, que no pertenecen al grupo A y que quedan excluidos , machacados , de entre posibles VP.
son , entre otros los valores 91,55,35,77,85,143,25,49 y otros dos cuadrados más... total, 10
Observemos que el mayor valor que es excluido por este grupo de cuatro , el grupo A, es el 13 *13=169, a partir del cual la influencia de estos cuatro se puede traspasar a otros valores fuera de A.
Si sumamos S=a+b+c+d =( k2-k)+k2+2k=3k2 -k , para k=2, S=10
El mayor valor de la lista de PGs afectado es, en este sistema, el cuadrado del 6k+1 , el mayor del grupo A , en este caso, el 169. Llamaremos grupo B al formado por el conjunto de valores afectados por el A y que no pertenecen a A, o sea, desde el 17 al 169
En resumen, sabemos que el grupo A ha desbaratado las opciones de ser primos a 10 elementos entre 17 y 169 .
los producidos en la operación c son del tipo -1 y los del resto, a,b,d del tipo +1. Claramente se observa que los del tipo +1 son más que los del tipo -1:
al tipo +1, S1= a+b+d = k2-k+2k=k2+k , en nuestro caso , para k=2, S1=6
al tipo -1 , S2=c = k2, k=2, S2=4
Diferencia a favor del S1, D=k2+k-k2 =k , en este ejemplo, 2
o sea, entre los excluidos o machacados hay 6 de tipo +1 y 4 del tipo -1
Por tanto, y cualquiera que sea K, se verifica que
El número de primos de tipo -1 es mayor que el del tipo +1
Si tomamos un grupo de origen A con K infinitamente grande, la diferencia entre el número de primos de uno y otro tipo en el grupo B producidos por los elementos de A será K, del tamaño que se desee , según sea K.
Nótese que en los grupo B existen otros falsos primos no contemplados aquí, además de los calculados, y producidos por factores que no pertenezcan ambos a A.
Ejemplo: el producto 5 ( de A) * 19 ( del B) = 95, es un valor Fp del grupo B fuera de nuestro cálculo, o el producto 7*17=119, y otros.
Ahora bien, estos casos y los anteriores, proceden todos del tipo de operaciones consideradas, de modo que en el cómputo total, las exclusiones se producirán según esos resultados y presentarán siempre una diferencia a favor de los demostrados.
En cálculos realizados por ordenador, las series de valores nos han presentado siempre diferencias sensibles entre los VP+1 y los VP-1.
Según esto, podemos afirmar que hay infinitos valores VP-1 más que los VP+1.