Infinitos

[deneb]

Como este es un foro en el que lo infinito como concepto  y los infinitos como cantidades se cruzan y se entrecruzan en muchos temas, (p.e. números primos) , creo que podrían contar con  su espacio particular en el que tratar, debatir y hasta discutir muchos  de sus aspectos más notables.
Si eso es así, me gustaría empezar , como solemos hacer en estos foros, por recordar lo que el diccionario  de español dice acerca de este vocablo, infinito.
Nos quedamos con las acepciones matemáticas.
Del lat. infinītus.
1.  Que no tiene ni puede tener fin ni término.
2.. Mat. Valor mayor que cualquier cantidad asignable.
3. Mat. Signo (∞) con que se expresa el infinito.
Como los infinitos suelen tener la mala costumbre de crearnos situaciones paradógicas, recordaremos al lector poco avisado que ésta es una situación habitual y que encontrarse con ella no significa haber perdido la razón, porque los infinitos, en sí mismos, son muy poco razonables, como iremos viendo.
Pongamos un primer ejemplo. El conjunto infinito más sencillo con el podemos encontrarnos es el de los números naturales, o sea de los entero positivos, esos que Deneb dice que sirven para contar ovejas... desde el 1 hasta el  inexistente número final ( ya vimos allí que los rebaños de ovejas pueden ser muy, muy grandes). A ese conjunto lo denominamos  así : {N}.
Separemos los números pares de los impares y veamos cuántos hay de cada clase:
Para entendernos mejor, pongamos los {N} en la caja 1 a la izquierda y en dos cajas a la derecha los pares en una , caja 2, y los impares, caja 3, en la otra.
A cada número n le corresponde un par, ( 1->2, 2->4, 3->6...). Sacamos cada n de la caja 1 y lo grapamos a su par de la caja 2 de pares... hasta terminar las dos cajas 1 y 2, que deben quedar vacías, si hemos hecho bien la tarea, el 1 con el 2, 2 con 4, 3 con 6, etc. Biyección. Total de pares, {N}.
Tomamos ahora otra nueva caja {N} porque la anterior está vacía ( se supone), y hacemos lo mismo, ahora otro n con cada impar, hasta el final. Biyección. Total de impares {N}.  Y hemos gastado dos cajas {N}.
Por lo tanto, ¿Total de pares + impares= 2xN , cómo es posible , si {N} contiene a todos los pares e impares ? Paradoja.
Además de ser poco razonables y aún peor, como seguramente comprobaremos,  los infinitos, aunque parecen todos iguales, no lo son, ni mucho menos, sino que tienen su propia jerarquía, en la que algunos son "infinitamente"  más grandes que otros, lo cual ya es el colmo del despropósito.
Los humanos somos así: a menudo no tenemos mucha idea de lo que tenemos entre manos, pero lo tratamos con si la tuviéramos y al final , a veces, encontramos lo que no buscábamos.
Y cuando tratemos de infinitos, seguramente habrá que visitar otros vocablos con significados parecidos, como los que tienen el prefijo OMNI ( latín: todo) , como omnipotente, omnisciente, omnipresente, omnívoro ( los humanos dicen que lo son), etc.
Saludos infinitos. Y sin prisas, que hay para todos.

[deneb]

Tratamiento de infinitos por el método restrictivo .Infinitos restringidos. Cuando se estudian los infinitos, la primera cuestión que nos planteamos es su definición. Lograda ésta, se plantea preguntar si todos los infinitos son equivalentes o los hay de diferentes especies, entendiendo como especie el conjunto de individuos que comparados, son equivalentes. Aquí aparecen , enseguida, cuestiones importantes, pues de modo inmediato, sin salir de la aritmética elemental, se encuentra el estudiante con los números racionales y posteriormente con los reales, de tal envergadura que el conjunto elemental de los naturales se queda corto y se revela incapaz de controlar el tamaño de ambos. Y hay otras cuestiones  a las que ya hemos hecho referencia, como comparar el conjunto de los pares con el de los múltiplos de seis, sabiendo que ambos son infinitos,  y como los múltiplos de 6 son del tipo 6n, está claro que hay uno para cada valor de n, o sea, tantos como N, pero está más claro que hay cinco naturales por cada múltiplo de 6, de modo que la cosa no puede ser y además es imposible... Así que vamos al método restrictivo. Lo llamo así porque su esencia es mantener el conjunto infinito solo a una unidad de distancia del infinito. Ya se que es imposible y matemáticamente poco elegante, pero mientras use el conjunto restringido, el conjunto Nr no va a tener infinitos elementos pero sí tantos como necesite . Entonces , las paradojas citadas desaparecen y los conjuntos se vuelven dóciles y comprensibles. El conjunto restringido de los múltiplos de 6, tiene !/6 de los elementos que tiene Nr , y el de pares, 1/2 Nr. Claro que así terminamos por no tener suficientes etiquetas para ovejas o habitaciones para invitados tardíos, pero nos hacemos una idea de la relación entre conjuntos infinitos mientras no lleguen al infinito. Como en el mundo físico nunca llegamos a ello, no necesitamos las paradojas, que solo aparecen entonces. Es decir, si compro un hotel de Nr habitaciones, mientras permanezca en el lado de acá de la realidad, sin infinitos, puedo controlar lo que pasa con los huéspedes tardíos. Al otro lado, puedo volverme loco.
Aplicado a lo números primos, los tres conjuntos  PG, FP y VP ( ver tema "primos" ) son infinitos en el límite, pero una vez restringidos, se comportan muy moderadamente y nos permiten saber que PGr>FPr>VPr. Sin embargo, soltando las bridas y dejándoles convertirse en infinitos, PG=FP=VP, relación totalmente falsa en el terreno real. Tan falsa como que hay el mismo número de números pares que de múltiplos de 3, aunque sepamos que los pares son 2n y los m.de 3 son 3n, así que se pueden colocar en parejas del mismo n sin que falte ni sobre ninguno ¿ no?... Pues usemos conjuntos restrigidos y podemos decir otra cosa más razonable mientras no crucemos la línea roja del infinito, podemos decir que hay n/2 pares y n/3  m. de 3. Lo de restringir suele ser muy útil cuando las cosas cuestan dinero. Cuando son gratis, es muy fácil decir que lo hacemos infinito, pero luego vienen los problemas, se nos llena de números el universo y más allá y no hay forma de terminar el proceso porque no queda sitio donde colocarnos para hacerlos.
Y todo esto enlaza con la distinción entre infinito potencial e infinito actual.

[cefas]

El temor al infinito o al Algo. Hace unos días, y a propósito de una discusión sobre las paradojas y experimentos extraños de la MC ( mecánica cuántica, o lo que ocurre a tamaños infinitesimales), hubo un momento en que alguien apelaba a la unidad radical del cosmos, y que eso exigía admitir un Algo unificador o una inteligencia unificadora. Inmediatamente, el coro de los cientifistas ( los fieles de la religión ciencia) apelaban a su dogma esencial, que propugna que hay siempre una explicación científica comprobable, se haya encontrado aún o no. Según ellos, siempre hay que negar la apelación al Algo divino, el equivalente infinito, puesto que , dogma al canto, siempre habrá una explicación científico experimental que lo eluda ... Y eso me llevó, en la duermevela del primer sueño, a comparar la ciencia experimental con la ciencia pura, el saber lógico, en resumen , la matemática, que, por otra parte, acaba siendo el corsé y el marco en el que todas las ciencias encuentran su cómodo acomodo. La navaja de Okhan ( se escribe así ?) se debe coger por el mango , supongo. La matemática la usa así, pero la ciencia experimental parece empeñada en cogerla por la hoja cuando no le gusta lo que señala. A la Matemática no le asustan los infinitos, ni los límites, los acepta y los ordena y utiliza, incluso para que la ciencia los pueda manejar. Pero la ciencia experimental parece que los tiene prohibidos...

[deneb]

Hoy es el día 14º ( décimo cuarto) del mes 3º del año, o el mes 3, día 14, o sea el día 3,14, o aún mejor, el día 3.14, o el colmo de la felicidad, el día de PI. Probablemente el número más conocido fuera de los primeros diez, o al menos el número raro que antes se reconoce. Y es que, como la sal, lo encontramos en casi todas las sopas de números, a las que somos tan aficionados algunos humanos. En cuanto dejamos de hacer líneas rectas y empezamos a torcernos, PI aparece dominando la escena. No podemos dejar de definirlo, por si a alguien se le ha olvidado. Es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, o sea, en términos infantiles, las veces que es más larga la rueda que su diámetro. Todo lo que se relaciona con la circunferencia, y hasta los astros tienen secciones circulares, y muchas cosas que aparentemente no lo están, tienen que ver con PI. Es como si PI fuera uno de los ladrillos esenciales en la constitución del mundo. Tan importante como los números primos y tan interesante como ellos. A ellos y a PI les deseamos larga vida y que nosotros conozcamos aún muchas más cosas interesantes de todos ellos. ¿ Alguien sabe cuántos decimales de PI se conocen al día de hoy  y cuántos tiene en total ?

[cefas]

Para los más curiosos, los más exactos y exigentes en materia de perfección, y solo para empezar , dejamos aquí una lista de algunos de los primeros decimales de Pi . El entero lo ponemos gratis nosotros, el TRES: Pi= 3,...
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989 3809525720 1065485863 2788659361 5338182796 8230301952 0353018529 6899577362 2599413891 2497217752 8347913151 5574857242 4541506959 5082953311 6861727855 8890750983 8175463746 4939319255 0604009277 0167113900 9848824012 8583616035 6370766010 4710181942 9555961989 4676783744 9448255379 7747268471 0404753464 6208046684 2590694912 9331367702 8989152104 7521620569 6602405803 8150193511 2533824300 3558764024 7496473263 9141992726 0426992279 6782354781 6360093417 2164121992 4586315030 2861829745 5570674983 8505494588 etc etc etc usque infinitum

[cefas]

Mi primer ordenador fue el Spectrum, creo que de 8 K. No se me rían, que entonces era un prodigio. Un vez traje de Londres una calculadora , de las primerísimas que hubo, color marrón, cuatro operaciones, que me duró menos de una semana, enseguida falló el teclado , el eslabón débil también del Spectrum. Arreglarlos era una odisea, había que enviarlos a Madrid y tras un pago serio, lo reparaban en una semana, más o menos. Pues bien, yo creía que con máquinas como las que siguieron a las de esa época, de entonces, 8K, y sobre todo con las actuales a base de Gigas y Teras y más, se  podrían llegar a tratar números enormes, quasiinfinitos. Pero ocurre que no parecen pensadas para eso. Enseguida , si les escribes un número de muchas cifras, lo escriben en modo exponencial, como un numero sencillo con exponente de n ceros. Se pierde enseguida la precisión. Por eso, si van a escribir un número largo de verdad, escríbanlo en modo texto, o como string, de manera que el Pc crea que está escribiendo algo en lenguaje orco. Lo malo es que como no tiene diccionario orco tampoco podrá traducirlo al idioma habitual. El Pi de arriba está bastante bien, pero reconozcámoslo, nuestro cerebro no se maneja bien con datos así. Recuerdo un número famoso, el número de Dirac, que ronda los 10E40, un uno seguido de una cohorte de cuarenta ceros, que intentaba aproximarse al número de partículas cargadas del universo conocido entonces. Otros intentos llagan al 10 E400, pero me temo que con el Hubble, el cosmos crece tan rápidamente que no vamos a tener suficientes ceros para representarlo. Estos locos humanos, siempre buscando infinitos ...

[cefas]

Tengo por ahí un programa en Basic, como las Voyager... pero capaz de operar con números de hasta quinientas cifras. no se muy bien para qué me puede servir, pero es impresionante ver al Pc manejarse con quinientas cifras, que ocupan media pantalla... y sobre todo, a la velocidad que lo hace. De todo modos, reconozco que esas operaciones tienen una pega: resulta difícil comprobar si están bien hechas, sobre todo si se mezclan de diversos tipos. Como en mis finanzas solo manejo tres o cuatro, y con suerte, por ahora todo esto es puro divertimento. Y hablando de números cuasi infinitos, esta tarde he andado imaginando qué tipo de número sería el de la edad del universo, tanto en el escenario religioso de un Dios creador como en el ateo que crea en un universo eterno. No sabemos cuándo Dios creo el mundo actual, y aunque se supone un Big Bang creador en unas fechas dadas, también es posible que esa teoría, por serlo, no sea rígidamente cierta. Y Dios pudo crearlo hace tanto como decidiera, ¿ cuánto ?, y  uno o muchos universos previos, variados, y hace eones sin fin, antes de cualquier cifra que se pueda imaginar. Y para el ateo de universo eterno, el problema es similar. He ahí dos números indefinibles, casi o del todo infinitos. Con un problema adicional: si nos ponemos  a escribirlos en formato de 3mm por cifra, llenaremos el universo, por grande que lo imaginemos, de ristras de papel rellenas de cifras, y aún tendremos que buscar sitio infinito donde arrojar los restos de los infinitos  lápices con los que las hemos escrito, y las infinitas toneladas del polvo de grafito que se irá soltando al escribir... Resumiendo: tanto creyentes en un Dios eterno como ateos de universos increados, tal vez vivimos rodeados de tiempos infinitos reales sin sentir, curiosamente, el agobio que debieran producirnos. Y sobrevivimos, sin sobrecogernos de angustia, seguramente porque no somos conscientes de ello.