Tics y clics matemáticos

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El 14 de marzo se celebra a nivel mundial el Día Internacional de las Matemáticas (IDM). Esa denominación es reciente: en 2019 la 40ª Conferencia General de la UNESCO lo decidió, ya que hasta ese momento era conocido, de una forma informal, como Día de PI, por aquello de que la parte entera y los dos primeros decimales de la popular constante son esos, 3,14 ( mes 3 día 14  ), hora  15, etc etc etc
Abrimos este nuevo tema para disponer de un lugar en el que tengan cabida noticias y comentarios más o menos generales sobre esta ciencia universal: noticias como la de hoy,  tan sencillas que cualquier no matemático puede entender, o bien  pequeños saberes expresables en el lenguaje universal de la matemática, que deben entender hasta los extraterrestres y, también cuando proceda, largas y aburridas demostraciones que no encuentren acomodo en otros sitios.... Y todo cuando nuestros queridos visitantes y usuarios gusten... 

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Me pregunto: si nuestros sesudos gestores científicos de la UNESCO usaran el número e=2.71828... ( base de los logaritmos naturales o neperianos)  para poner fecha al Dia de las Matemáticas, ¿ cuándo se celebraría ?. Respuesta : el mes 2, el día 7, y añado, a las 18 horas ( iba a poner a las 1 horas, pero dado el estado de confinamiento y alarma universal que impone el covid19, mejor a las 18, justo antes de recluirnos de nuevo...
Además del PI y el e hay otros números notables, más bien constantes notables, que planean sobre muchos asuntos matemáticos, a veces sin que podamos explicarnos bien ( a menudo ni bien ni mal ) cómo han llegado hasta allí. Espero que veamos unas cuantas.

[petrusdoa]

 Tenía por ahí una aproximación a Pi de unas cuantas cifras decimales, y por si alguno de nuestros usuarios lo necesita. era ésta:
                         3.14159265358979323846264338327950288419716939937510
Si alguien es muy exigente y quiere usar una exactitud brutal, se han obtenido aproximaciones con miles de millones de cifras. Sin embargo, para no agotar el espacio del foro, hoy no las voy a traer a este post... Si lo hiciera y escribiera una por segundo, para escribir , solo es un ejemplo, mil millones de ellas, necesitaría casi treinta y dos años. Sinceramente, hoy no estoy por esa labor.

[petrusdoa]

Dado que hay infinitos números no racionales, no periódicos, irracionales,  podríamos preguntarnos si en su desarrollo completo podríamos encontrar cualquier sucesión que nos pudiéramos inventar, por ejemplo la serie de enteros del 1 al n, o sea: ( 1 2 3 4...100,101,... n ). En principio parece que números aparentemente sencillos como la raíz cuadrada de 2 tal vez acabaría siendo más o menos comprensibles o imaginables, pero... casi lo único que sabemos de ellos es que, por mucho que los estiremos ( son infinitamente "estirables" ) nunca se repetirá una expresión numérica de manera indefinida ( período). Es posible y hasta probable, muy poco, que hallemos algún fragmento del tipo 22222222 y otros dos millones de 2 repetidos pero, oh mala suerte, de pronto aparecería un 3 para estropearlo todo... pero tampoco podemos afirmar o negar cualquier cosa con absoluta seguridad, tal vez nunca aparezca esa serie , al menos hasta el punto en el que, agotados por el esfuerzo, dejáramos de buscar, allá por la cifra decimal 1000000000000000000000000000ª.
Lo mismo podemos decir del desarrollo de Pi o del número e. Es lo bonito, misterioso y hasta estremecedor de estos abismos infinitos , en los que asomarse produce un escalofrío mental parecido al que sentimos cuando lo hacemos desde una terraza o un piso de grandes alturas. Unos se divierten con la adrenalina que produce escalar una roca vertical, otros cuando se sumergen en una cueva sin fondo , y otros, los menos, cuando bucean sin oxígeno auxiliar en las profundidades de números infinitamente desconocidos... de los
 que, por otra parte, estamos bien provistos. Solo se me ocurre sugerir que en los futuros ordenadores cuánticos, los de casi infinitas cualidades, se coloque una tecla adicional con un ocho tumbado, que me han dicho que serviría para sacar infinitos decimales.

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Y del número 3.14159..., pasemos a su símbolo π, que no es una letra de nuestro alfabeto, sino del griego,  y veamos cómo escribirla en nuestro post cuando sea necesario. A menudo lo más práctico es escribir pi pero queda más fino y elegante poner  π , que siendo letra griega, si la pongo, todos van a considerar que soy de los pocos capaces de hacerlo con soltura. Vamos a los clics necesarios (se supone ordenador con Windows) : Llegado al lugar donde quiero que aparezca el símbolo ... voy a decirle a Windows que me lo muestre: pulso su símbolo, la ventanita, y la letra R; aparece un cuadro de búsqueda donde debo escribir Charmap ( mapa de caracteres) y una vez Aceptado me lo muestra. Hay tantos que hay que buscar en  el alfabeto griego, bajando algunas páginas. Seleccionar esa letra π y mandar Copiar. Ya lo tengo cautivo... Solo queda hacer clic en Pegar justo donde queremos colocarla. Parece poco pero acabamos de trasladar de sitio una ristra de infinitos números, y creo que hasta tres veces. De hecho, cada procesador de textos , sobre todo los que admiten formulaciones matemáticas, suele tener su método para escribir símbolos más allá del alfabeto... todo un mundo en el uso del ratón y el teclado.

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Cuidado con la IA( la Inteligencia Artificial) , aunque no sea más que la la IH ( humana) con servomotor...
Acabo de leer, unos días es un soplo en el tiempo, que uno de esos elementos IA , al que le pusieron a trabajar dejándolo a su aire, vaya usted mirando lo que le parezca,  ha desmontado algo así como cuatro conjeturas matemáticas. Las conjeturas matemáticas son esas opiniones que parecen ciertas pero que no es fácil, a veces , a menudo, casi siempre, demostrar. No recuerdo en este momento cuáles eran esas cuatro , pero me temo que es solo el comienzo de la nueva era maquinista, en la que los artilugios mecánicoeléctricoelectrónicocuánticos nos relevarán intentando hacer  por nosotros lo que hacemos ahora, lo que hicimos antes y lo que pensábamos hacer el en el futuro, futuro que a partir de ese momento será lo que se ha venido en llamar ( indevidamente)* el futuro pluscuamperfecto.
* Hay palabras, como indevidamente que solo adquieren su pleno significado cuando se escriben indevidamente.

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A continuación del número Pi llega el número Fi ( otra letra griega).φ.
Le llamamos Fi, número áureo o proporción áurea... Si es usted pintor, seguro que sabe qué es φ , sobre todo a la hora de dividir el lienzo o establecer áreas separadas...
Su valor es 1,6180339887498948482... y continúa hasta el infinito. Nace de una proporción. Supongamos que dividimos un segmento l en dos trozos desiguales a y b , l=a+b , con a>b, de forma que la razón entre la barra entera l y el segmento mayor a sea la misma que entre éste, a , y el menor, b.
                                                   l/a   =  a/b          (1)
El valor de cada una de esas dos razones o quebrados, es el número Fi : l/a = a/b = 1.618033...
También se llama número áureo o proporción áurea. El φ (fi) aparece en la naturaleza, desde la imbricación de las semillas en ciertas flores hasta la organización de escamas en las piñas y otros frutos, o la distribución de las hojas de un tallo.
Si quiere calcularlo, resuelva el sistema de dos ecuaciones que resultan de  l=a + b y  la (1) citada. Acabará calculado la raíz cuadrada de cinco, sumando uno y dividiendo por dos....  y obteniendo que
                          l/a= a/b = 1.618033......................................
Aplicaciones:
Desde la Grecia clásica empezó a considerarse la proporción áurea como la máxima calidad estética de un diseño arquitectónico, escultórico o pictórico. El número Fi es antiquísimo. Su cálculo aparece en las obras de Euclides, matemático griego, a caballo entre los siglos IV y III a. C. Pero probablemente, ya en el VI a. C., Pitágoras, el del teorema , lo investigó.
Los griegos se interesaron por φ, debido a su estrecha vinculación con la arquitectura y la escultura. La geometría les permitía trazar figuras geométricas como un cuadrado o un hexágono, con una regla y un compás, de un modo sencillo. Y cuando consiguieron dibujar una estrella regular de cinco puntas, comprobaron que las relaciones entre sus partes se regían por Fi... También observaron que dividiendo un cuadro, una escena o una figura  según las  proporciones  de Fi, hallaban en ellos cierta armonía y equilibrio. Muchas producciones artísticas lo usan o por lo menos se aproximan a ese valor... Usenlo, es gratis.

[cefas]

Hay muchas aplicaciones del número áureo en la vida diaria. Este número se aplica a menudo en las obras de arte, por ejemplo en el Partenón, sin ir más lejos,  y también lo encontramos en el edificio de la O.N.U. Se pueden ver ejemplos de rectángulos áureos en muchísimos objetos de uso diario. Los podemos encontrar en las tarjetas de crédito , en nuestro carnet de identidad y también en las cajetillas de tabaco. No sabemos muy bien por qué, pero nuestro cerebro ve como proporcionados los lienzos, cuadros de paisajes y figuras humanas en los que se respeta esa proporción. Un buen ejercicio de este verano es aplicar este valor a los cuadros que veamos en un museo o a los objetos  usuales, por ejemplo los lados de la mesa de estudio, las hojas de papel, los formatos de los libros, etc. Es lo que tiene este mundo, este cosmos. Parece estar hecho con números...  o por un Matemático.

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Un amigo me preguntaba, hace un tiempo, si en el número Pi o en el número e  podríamos encontrar una serie de cifras iguales, por ejemplo dos millones de ochos, o cualquier otra serie que se le ocurriera...
Veamos: no es  lo mismo un número infinitamente largo diseñado al azar que un número también infinitamente largo diseñado bajo una ley, una fórmula o una clasificación o consideración matemática. En el primer caso, si el número se produce mediante un sistema caótico, sin norma alguna, asunto imposible "per se", pero supongámoslo, entonces cualquier cosa que se suponga, si no es absurda o ilógica, será posible. Pero si el número no es azaroso,  a menudo no podremos afirmar nada de eso. Un ejemplo: supongamos que fabricamos un número disponiendo de un saco con las diez cifras posibles, del cero al nueve, y vamos sacándolas sucesivamente... en ese caso, podría ocurrir que se obtuviera alguna vez una ristra continua de once mil ceros o  veinte mil pares  del tipo 91 ,...919191... o lo que se desee proponer. Solo es cuestión de seguir probando. El "per se"  anterior se puede considerar en el tema el Azar de este mismo foro, donde se demuestra que, en este universo con leyes y seres "inteligentes" el azar perfecto es imposible, aunque podemos fabricar números que nos lo parecen. En cuanto al número pi y al número e , por ejemplo, que son números definidos previamente y por tanto preexistentes a nuestra consideración, relacionados con la geometría o definidos con una formulación concreta, lo del azar queda excluido. No hay azar en ellos y, por lo tanto, no podemos afirmar lo que, apoyados en el presunto azar, podemos decir en otros casos. Es posible que en el  desarrollo del número Pi exista una serie de doce mil unos consecutivos , pero no me atrevo a asegurarlo , no lo se, a menos que alguien, con un poderoso ordenador llegue al punto en el que se descubra... El mundo de los números es fabulosamente fabuloso y tan variado como los procedimientos con los que queramos clasificarlos: enteros, primos, compuestos, naturales, racionales, irracionales, algebraicos, trascendentes, complejos, etc etc etc. sin contar los inventados por cada matemático aficionado a ello , como Fermat , Fibonacci, etc Un mundo donde queda mucho aún por explorar.

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Puestos a eso de clasificar números por cualidades, se me ocurrió buscar los que podemos llamar casiprimos o cuasiprimos , CP , o sea los que solo tienen dos factores primos , por ejemplo el 6=2x3, pero no el  30=2x3x5, que tiene tres factores primos, que llamamos aquí los FP.
Con un programa sencillo compruebo los que hay en los mil  primeros números naturales y los resultados son:  Total números 1000; total primos 161; total cuasiprimos 293; resto, compuestos de más de dos primos, 546. En todos los casos examinados , la relación es la misma; más compuestos, menos casi primos y pocos primos, o sea FP > CVP > VP. 
Examinando las graficas de crecimiento de los tres tipos de números, la de mayor pendiente, mayor crecimiento, corresponde a los números FP, compuestos de más de dos factores, le siguen nuestros cuasiprimos y terminan la serie los primos verdaderos, como era de esperar.
Hasta este punto, parecen , los casi primos, un tipo de números de escaso interés, salvo que alguien encuentre en ellos alguna regularidad.

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Un equipo de matemáticos suizos, Universidad de Ciencias Aplicadas de Graubünden, lleva meses intentando  el récord mundial para el mayor número de dígitos del número Pi, que hace dos años le fue arrebatado por Estados Unidos con 50.000 millones de decimales. 62.800 millones  es el último record. No está mal. Voy a comprobar si han cometido algún error...

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Hace un tiempo, jugando a las cartas con mis amigos, el reparto me favoreció durante toda la partida, como si yo mismo las hubiera elegido... Como es algo que no me ha ocurrido, que yo sepa, nunca más, he pensado en la probabilidad de que me vuelva a ocurrir...aunque supongo que será casi tan difícil como que me caiga el primer premio de la lotería de Navidad, un número entre cien mil, se supone. Pero como eso es solo una opinión , vertida sin pensarlo bien, voy a ver de qué números estoy hablando:. La baraja española tiene cuarenta cartas distintas, y al barajarlas se pueden ordenar de 40 x 39 x 38x 37x...4 x 3 x 2 formas distintas, es decir un numerito de cuarenta y ocho cifras ,  de los cuales solo hay una forma, y solo una , que coincida exactamente con lo que ocurrió ese día, carta por carta. Así que la probabilidad de que vuelva a ocurrir ese evento es de uno dividido por ese monstruo de número. Y menos mal que esa vez no jugábamos con las 52 cartas de la baraja inglesa  ,cuyo factorial ( ese producto que empieza en 52 y acaba en 2 ) tiene , creo, sesenta y ocho cifras de nada... Apenas tenemos una forma de nombrarlo que no sea la exponencial... Siento decepcionar a los jugadores que esperan a la suerte, e incluso suertes repetidas , pero a las cartas pueden seguir jugando durante millones, billones de siglos, probando y probando , antes de que, todo puede ocurrir, se repita la misma combinación. Por ésta y otras razones, antes de jugar a cualquier juego en el que intervenga lo que suele llamarse suerte, es bueno hacer algunos números para saber de qué se trata en realidad...  y qué probabilidad de ganar tenemos. Y recordar que los negocios de juego y loterías, quinielas, etc no están pensados para que ganen los jugadores sino, más bien, beneficiar al organizador, se llame estado, organización bienhechora o hacienda pública.
Por hacer una prueba, tomo una baraja y me pongo a barajar, y cada minuto reparto dos veces las cartas, lo que hace , redondeando unas 60x2x24 =2880 pruebas por día, poco más de un millón al año, Si desde el Big Bang hubiera estado probando, durante 13.000.000.000 años, a millón anual, añadamos seis ceros, tendríamos hoy un número como de trillones... tal vez cerca de las veinte cifras, enorme, pero de ahí hasta las cuarenta y ocho o sesenta y ocho necesarias, según baraja, harían falta trillones de universos y tiempos y ensayos como éste, completos, para ir llegando al numerito en cuestión. Visto lo cual ,renuncio a la prueba completa.

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Hoy va de clics en numeritos pequeños. Los números grandes, a medida que crecen pareciendo infinitos (sin serlo nunca)  adquieren algunas propiedades curiosas de las que hemos tratado en algunos temas de este foro. Pero los números infinitamente pequeños, los infinitesimales, también tienen algunas características que los hacen especiales. Recordemos un antecedente: el seno de un ángulo, cuando este ángulo se hace infinitamente pequeño, puede ser sustituido por el propio ángulo ( en radianes, no olvidarlo) de modo que ángulo y seno coinciden numéricamente (al menos para los cálculos ordinarios). Hace un par de días, repasando una fórmula que da el logaritmo natural ln de un número a , terminé encontrándome con un asunto parecido. La fórmula era
                                      ln a= lim [( aEx- 1)/x]  para x->0 ( x infinitesimal)
Si en ella hacemos a=e ( número e), entonces  ln e=1  , y la fórmula anteriormente citada queda transformada en ésta: 1= (eEx -1)/x  ó  x=eEx – 1 , o también,  eEx= 1+x , con ( x->0)
Estas dos últimas formulitas implican que un número muy, muy pequeño, x ,se podrá escribir de la forma  0.0000003= eE0.0000003-1  ( más exacto cuanto más pequeño sea x), y que las potencias de exponente muy pequeño de e valen:  eE0.0000002=1+ 0.0000002 (más exacto cuanto más pequeño sea x)
Por cierto, como, con x->0,   ocurre que sen x =x, también será sen x =eEx -1. De manera que,  si tenemos que escribir un número muy muy pequeño, podremos escribirlo como el seno o en forma exponencial como  x= eEx  - 1,  con solo un mínimo error.
                              0.00000000005 = Sen 0.00000000005 = e E0.00000000005 -1
en un clic.
Nota: al copiar el texto en el foro, se han perdido formatos de potencias con fuentes pequeñas. Los exponentes perdidos se han sustituido con la E en cada caso. 

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Como hoy es el día de PI ( ver post 1), espero que todos dediquemos unos minutos a reflexionar sobre la importancia de ese número, que no es un número, sino una razón o relación entre las longitudes de dos líneas..., que es trascendente, irracional, aleatorio en su desarrollo ( me gustaría saber en qué ordinal empieza mi número de DNI), y del que en 2021, ver post en august 23 2021, una universidad suiza parece que terminó calculando sesenta y tres billones de cifras,  63 x10E24, que no se en qué descomunal fichero andarán guardadas. Enhorabuena, mister PI,  feliz cumpleaños, está usted muy bien conservado, para los años que tiene. A ver si vuelvo a ver hoy su película, La vida de Pi ¿ Cómo, que no es su vida ? es usted una caja de sorpresas... ):

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Vivimos en un mundo dispar; una mañana de estas, mientras ojeaba los precios en un mercadillo, un señor discutía a mi lado con su pareja sobre el precio de una docena de huevos. Como son días de escasa oferta, solo tenían disponibles cajas con diez piezas, a 1.112 euros. Solo llevan diez, decían, no han puesto una docena, y no serán baratos. Entonces me he vuelto y les he dicho: perdonen que les interrumpa pero, llevan móvil ( teléfono).? Sí claro. Es que yo estoy, como ustedes en ello, pero pueden saber el precio de la docena de un modo muy sencillo: dividan 1.112 entre 10 para saber lo que cuesta uno y luego multipliquen por 12. Los móviles llevan calculadora incorporada. Y eso lo pueden aplicar a casi todo lo que compren en el mercado, para saber, por ejemplo, el precio de un kilo. Pues es verdad, me contesta. Gracias, 1.33 euros la docena. Y esa ha sido mi primera obra buena de hoy, creo. la segunda puede ser sugerir aquí este sencillo doble clik. Obra buena que puede ayudar a gentes, sobre todo mayores, un poco perdidas entre tantos datos, propuestas  y colores como se exhiben ahora en el comercio, del tipo: Compre tres y pague dos; si compra uno el precio es 6.50. Un galimatías.