Como este es un foro en el que lo infinito como concepto y los infinitos como cantidades se cruzan y se entrecruzan en muchos temas, (p.e. números primos) , creo que podrían contar con su espacio particular en el que tratar, debatir y hasta discutir muchos de sus aspectos más notables.
Si eso es así, me gustaría empezar , como solemos hacer en estos foros, por recordar lo que el diccionario de español dice acerca de este vocablo, infinito.
Nos quedamos con las acepciones matemáticas.
Del lat. infinītus.
1. Que no tiene ni puede tener fin ni término.
2.. Mat. Valor mayor que cualquier cantidad asignable.
3. Mat. Signo (∞) con que se expresa el infinito.
Como los infinitos suelen tener la mala costumbre de crearnos situaciones paradógicas, recordaremos al lector poco avisado que ésta es una situación habitual y que encontrarse con ella no significa haber perdido la razón, porque los infinitos, en sí mismos, son muy poco razonables, como iremos viendo.
Pongamos un primer ejemplo. El conjunto infinito más sencillo con el podemos encontrarnos es el de los números naturales, o sea de los entero positivos, esos que Deneb dice que sirven para contar ovejas... desde el 1 hasta el inexistente número final ( ya vimos allí que los rebaños de ovejas pueden ser muy, muy grandes). A ese conjunto lo denominamos así : {N}.
Separemos los números pares de los impares y veamos cuántos hay de cada clase:
Para entendernos mejor, pongamos los {N} en la caja 1 a la izquierda y en dos cajas a la derecha los pares en una , caja 2, y los impares, caja 3, en la otra.
A cada número n le corresponde un par, ( 1->2, 2->4, 3->6...). Sacamos cada n de la caja 1 y lo grapamos a su par de la caja 2 de pares... hasta terminar las dos cajas 1 y 2, que deben quedar vacías, si hemos hecho bien la tarea, el 1 con el 2, 2 con 4, 3 con 6, etc. Biyección. Total de pares, {N}.
Tomamos ahora otra nueva caja {N} porque la anterior está vacía ( se supone), y hacemos lo mismo, ahora otro n con cada impar, hasta el final. Biyección. Total de impares {N}. Y hemos gastado dos cajas {N}.
Por lo tanto, ¿Total de pares + impares= 2xN , cómo es posible , si {N} contiene a todos los pares e impares ? Paradoja.
Además de ser poco razonables y aún peor, como seguramente comprobaremos, los infinitos, aunque parecen todos iguales, no lo son, ni mucho menos, sino que tienen su propia jerarquía, en la que algunos son "infinitamente" más grandes que otros, lo cual ya es el colmo del despropósito.
Los humanos somos así: a menudo no tenemos mucha idea de lo que tenemos entre manos, pero lo tratamos con si la tuviéramos y al final , a veces, encontramos lo que no buscábamos.
Y cuando tratemos de infinitos, seguramente habrá que visitar otros vocablos con significados parecidos, como los que tienen el prefijo OMNI ( latín: todo) , como omnipotente, omnisciente, omnipresente, omnívoro ( los humanos dicen que lo son), etc.
Saludos infinitos. Y sin prisas, que hay para todos.