Autor Tema: Infinitos  (Leído 790 veces)

deneb

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Infinitos
« : octubre 21, 2016, 04:07:31 am »
Como este es un foro en el que lo infinito como concepto  y los infinitos como cantidades se cruzan y se entrecruzan en muchos temas, (p.e. números primos) , creo que podrían contar con  su espacio particular en el que tratar, debatir y hasta discutir muchos  de sus aspectos más notables.
Si eso es así, me gustaría empezar , como solemos hacer en estos foros, por recordar lo que el diccionario  de español dice acerca de este vocablo, infinito.
Nos quedamos con las acepciones matemáticas.
Del lat. infinītus.
1.  Que no tiene ni puede tener fin ni término.
2.. Mat. Valor mayor que cualquier cantidad asignable.
3. Mat. Signo (∞) con que se expresa el infinito.

Como los infinitos suelen tener la mala costumbre de crearnos situaciones paradógicas, recordaremos al lector poco avisado que ésta es una situación habitual y que encontrarse con ella no significa haber perdido la razón, porque los infinitos, en sí mismos, son muy poco razonables, como iremos viendo.
Pongamos un primer ejemplo. El conjunto infinito más sencillo con el podemos encontrarnos es el de los números naturales, o sea de los entero positivos, esos que Deneb dice que sirven para contar ovejas... desde el 1 hasta el  inexistente número final ( ya vimos allí que los rebaños de ovejas pueden ser muy, muy grandes). A ese conjunto lo denominamos  así : {N}.
Separemos los números pares de los impares y veamos cuántos hay de cada clase:
Para entendernos mejor, pongamos los {N} en la caja 1 a la izquierda y en dos cajas a la derecha los pares en una , caja 2, y los impares, caja 3, en la otra.
A cada número n le corresponde un par, ( 1->2, 2->4, 3->6...). Sacamos cada n de la caja 1 y lo grapamos a su par de la caja 2 de pares... hasta terminar las dos cajas 1 y 2, que deben quedar vacías, si hemos hecho bien la tarea, el 1 con el 2, 2 con 4, 3 con 6, etc. Biyección. Total de pares, {N}.
Tomamos ahora otra nueva caja {N} porque la anterior está vacía ( se supone), y hacemos lo mismo, ahora otro n con cada impar, hasta el final. Biyección. Total de impares {N}.  Y hemos gastado dos cajas {N}.
Por lo tanto, ¿Total de pares + impares= 2xN , cómo es posible , si {N} contiene a todos los pares e impares ? Paradoja.
Además de ser poco razonables y aún peor, como seguramente comprobaremos,  los infinitos, aunque parecen todos iguales, no lo son, ni mucho menos, sino que tienen su propia jerarquía, en la que algunos son "infinitamente"  más grandes que otros, lo cual ya es el colmo del despropósito.
Los humanos somos así: a menudo no tenemos mucha idea de lo que tenemos entre manos, pero lo tratamos con si la tuviéramos y al final , a veces, encontramos lo que no buscábamos.
Y cuando tratemos de infinitos, seguramente habrá que visitar otros vocablos con significados parecidos, como los que tienen el prefijo OMNI ( latín: todo) , como omnipotente, omnisciente, omnipresente, omnívoro ( los humanos dicen que lo son), etc.
Saludos infinitos. Y sin prisas, que hay para todos.

deneb

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Re:Infinitos
« Respuesta #1 : noviembre 12, 2016, 04:31:12 pm »
Tratamiento de infinitos por el método restrictivo .Infinitos restringidos. Cuando se estudian los infinitos, la primera cuestión que nos planteamos es su definición. Lograda ésta, se plantea preguntar si todos los infinitos son equivalentes o los hay de diferentes especies, entendiendo como especie el conjunto de individuos que comparados, son equivalentes. Aquí aparecen , enseguida, cuestiones importantes, pues de modo inmediato, sin salir de la aritmética elemental, se encuentra el estudiante con los números racionales y posteriormente con los reales, de tal envergadura que el conjunto elemental de los naturales se queda corto y se revela incapaz de controlar el tamaño de ambos. Y hay otras cuestiones  a las que ya hemos hecho referencia, como comparar el conjunto de los pares con el de los múltiplos de seis, sabiendo que ambos son infinitos,  y como los múltiplos de 6 son del tipo 6n, está claro que hay uno para cada valor de n, o sea, tantos como N, pero está más claro que hay cinco naturales por cada múltiplo de 6, de modo que la cosa no puede ser y además es imposible... Así que vamos al método restrictivo. Lo llamo así porque su esencia es mantener el conjunto infinito solo a una unidad de distancia del infinito. Ya se que es imposible y matemáticamente poco elegante, pero mientras use el conjunto restringido, el conjunto Nr no va a tener infinitos elementos pero sí tantos como necesite . Entonces , las paradojas citadas desaparecen y los conjuntos se vuelven dóciles y comprensibles. El conjunto restringido de los múltiplos de 6, tiene !/6 de los elementos que tiene Nr , y el de pares, 1/2 Nr. Claro que así terminamos por no tener suficientes etiquetas para ovejas o habitaciones para invitados tardíos, pero nos hacemos una idea de la relación entre conjuntos infinitos mientras no lleguen al infinito. Como en el mundo físico nunca llegamos a ello, no necesitamos las paradojas, que solo aparecen entonces. Es decir, si compro un hotel de Nr habitaciones, mientras permanezca en el lado de acá de la realidad, sin infinitos, puedo controlar lo que pasa con los huéspedes tardíos. Al otro lado, puedo volverme loco.
Aplicado a lo números primos, los tres conjuntos  PG, FP y VP ( ver tema "primos" ) son infinitos en el límite, pero una vez restringidos, se comportan muy moderadamente y nos permiten saber que PGr>FPr>VPr. Sin embargo, soltando las bridas y dejándoles convertirse en infinitos, PG=FP=VP, relación totalmente falsa en el terreno real. Tan falsa como que hay el mismo número de números pares que de múltiplos de 3, aunque sepamos que los pares son 2n y los m.de 3 son 3n, así que se pueden colocar en parejas del mismo n sin que falte ni sobre ninguno ¿ no?... Pues usemos conjuntos restrigidos y podemos decir otra cosa más razonable mientras no crucemos la línea roja del infinito, podemos decir que hay n/2 pares y n/3  m. de 3. Lo de restringir suele ser muy útil cuando las cosas cuestan dinero. Cuando son gratis, es muy fácil decir que lo hacemos infinito, pero luego vienen los problemas, se nos llena de números el universo y más allá y no hay forma de terminar el proceso porque no queda sitio donde colocarnos para hacerlos.
Y todo esto enlaza con la distinción entre infinito potencial e infinito actual.

cefas

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Re:Infinitos
« Respuesta #2 : mayo 23, 2018, 04:03:31 am »
El temor al infinito o al Algo. Hace unos días, y a propósito de una discusión sobre las paradojas y experimentos extraños de la MC ( mecánica cuántica, o lo que ocurre a tamaños infinitesimales), hubo un momento en que alguien apelaba a la unidad radical del cosmos, y que eso exigía admitir un Algo unificador o una inteligencia unificadora. Inmediatamente, el coro de los cientifistas ( los fieles de la religión ciencia) apelaban a su dogma esencial, que propugna que hay siempre una explicación científica comprobable, se haya encontrado aún o no. Según ellos, siempre hay que negar la apelación al Algo divino, el equivalente infinito, puesto que , dogma al canto, siempre habrá una explicación científico experimental que lo eluda ... Y eso me llevó, en la duermevela del primer sueño, a comparar la ciencia experimental con la ciencia pura, el saber lógico, en resumen , la matemática, que, por otra parte, acaba siendo el corsé y el marco en el que todas las ciencias encuentran su cómodo acomodo. La navaja de Okhan ( se escribe así ?) se debe coger por el mango , supongo. La matemática la usa así, pero la ciencia experimental parece empeñada en cogerla por la hoja cuando no le gusta lo que señala. A la Matemática no le asustan los infinitos, ni los límites, los acepta y los ordena y utiliza, incluso para que la ciencia los pueda manejar. Pero la ciencia experimental parece que los tiene prohibidos...

deneb

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Re:Infinitos
« Respuesta #3 : marzo 14, 2019, 04:09:55 am »
Hoy es el día 14º ( décimo cuarto) del mes 3º del año, o el mes 3, día 14, o sea el día 3,14, o aún mejor, el día 3.14, o el colmo de la felicidad, el día de PI. Probablemente el número más conocido fuera de los primeros diez, o al menos el número raro que antes se reconoce. Y es que, como la sal, lo encontramos en casi todas las sopas de números, a las que somos tan aficionados algunos humanos. En cuanto dejamos de hacer líneas rectas y empezamos a torcernos, PI aparece dominando la escena. No podemos dejar de definirlo, por si a alguien se le ha olvidado. Es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, o sea, en términos infantiles, las veces que es más larga la rueda que su diámetro. Todo lo que se relaciona con la circunferencia, y hasta los astros tienen secciones circulares, y muchas cosas que aparentemente no lo están, tienen que ver con PI. Es como si PI fuera uno de los ladrillos esenciales en la constitución del mundo. Tan importante como los números primos y tan interesante como ellos. A ellos y a PI les deseamos larga vida y que nosotros conozcamos aún muchas más cosas interesantes de todos ellos. ¿ Alguien sabe cuántos decimales de PI se conocen al día de hoy  y cuántos tiene en total ?